도모에센 우승 확률 계산기란?
적용 범위 안내 (일본 / 스모 규정): '도모에센(巴戦)'은 우승 결정전에서 3명이 동률을 이뤘을 때, 이를 가리기 위해 일본 오즈모(大相撲)에서 사용하는 3인 토너먼트 방식입니다. 확률 모델 자체는 보편적이라 동일한 규칙으로 진행되는 어떤 3인 순환 결승전에도 적용할 수 있지만, 그 관습과 용어는 일본 스모에서 유래했습니다. 이 계산기는 세 선수가 각각 최종 우승을 차지할 확률이 얼마인지 계산해 줍니다.
경기 방식
세 명의 선수가 겨룹니다. 먼저 A 선수와 B 선수가 첫 번째 대결을 펼치고, C 선수는 '대기' 상태로 다음을 기다립니다. 각 대결에서 진 선수는 물러나고, 이긴 선수는 그대로 남아 곧바로 대기하던 선수와 맞붙습니다. 2연승을 거둔 선수가 결승전 우승을 차지합니다. 대기 중인 C 선수는 연승 행진을 시작하기 전에 먼저 한 판을 이겨야 하므로 구조적으로 불리하고, 대칭적인 위치에 있는 첫 대결의 A·B 선수는 서로 같으면서도 더 높은 확률을 갖습니다.
사용 방법
스모의 기본적인 공정한 결과를 보려면 세 선수의 판당 승률을 모두 0.5로 두면 됩니다. 실력 차이가 있는 대결을 살펴보려면 각 선수의 판당 승률(또는 백분율)을 입력하세요. 내부적으로 이 값은 상대적인 '실력' 지표로 처리됩니다. 즉, X와 Y의 대결에서 \(P(X \text{ beats } Y) = \dfrac{s_X}{s_X + s_Y}\)로 계산됩니다.
계산 공식
(현재 연승 중인 선수, 새로 들어오는 상대)를 상태로 하는 마르코프 연쇄를 구성합니다. 흡수 상태는 연승 중인 선수가 두 번째 판마저 이기는 경우입니다. 50/50의 공정한 경우에 점화식을 풀면 교과서에 나오는 고전적인 결과가 나옵니다.
$$P(A) = P(B) = \frac{5}{14} \approx 35.71\%,$$ 그리고 $$P(C) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \approx 28.57\%.$$ 합은 정확히 1이 됩니다.
풀이 예시
세 선수의 판당 승률이 모두 0.5라고 합시다. A 선수가 첫 번째 판을 이기고(\(\tfrac{1}{2}\)), 곧이어 한 판을 더 이기면(\(\tfrac{1}{2}\)) 우승을 차지할 수 있습니다. A 선수가 이후 다시 주도권을 잡아 연승을 완성하는 모든 경우를 무한등비급수로 합산하면 정확히 \(\tfrac{5}{14}\)가 나옵니다. 대칭에 의해 B 선수도 \(\tfrac{5}{14}\)를 갖고, C 선수는 $$1 - 2 \times \frac{5}{14} = \frac{4}{14} \approx 28.57\%$$가 됩니다.
자주 묻는 질문
왜 대기하는 선수가 불리한가요? A와 B는 처음부터 곧바로 2연승을 거두어 우승할 수 있지만, C는 첫 판을 이긴 선수를 먼저 꺾어야만 비로소 연승을 노릴 수 있기 때문입니다.
결승전은 반드시 끝나나요? 네. 2연승 없이 무한정 이어질 확률은 0에 수렴하므로, 세 선수의 확률 합은 정확히 1이 됩니다.
무승부가 허용되나요? 아니요. 스모 결승전의 대결은 항상 승자가 가려지므로, 모든 판은 승패로 결정됩니다.
