ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة الاحتمال الدقيق للحصول على مجموع معيّن عندما ترمي عدة حبات نرد دفعة واحدة. وهي تعمل مع أي عدد من حبات النرد العادلة \(n\) وأي عدد من الأوجه لكل حبة \(s\)، وليس فقط مع المكعب السداسي المألوف. وبدلاً من التقدير عن طريق المحاكاة، تقوم بعدّ كل نتيجة مرتّبة ممكنة بدقة، فيكون الجواب صحيحاً رياضياً تماماً.
كيفية الاستخدام
أدخل عدد حبات النرد، وعدد الأوجه في كل حبة، والمجموع المستهدف الذي تريد أن تصل إليه حبات النرد. اضغط على زر الحساب لترى الاحتمال كنسبة مئوية وكقيمة عشرية، وعدد النتائج المواتية، وإجمالي عدد النتائج، إضافة إلى الفرص معبّراً عنها بصيغة «1 من أصل N». أما نطاق المجاميع الممكنة فيوضّح لك أصغر وأكبر مجموع يمكن تحقيقه.
شرح المعادلة
الاحتمال هو $$P(\text{sum}=\text{Target}) = \frac{N(\text{Target})}{\text{Sides}^{\,\text{Dice}}}$$ المقام \(s^n\) هو إجمالي عدد النتائج المرتّبة المتساوية في الاحتمال (في حالة حبتي نرد سداسيتين يكون \(6^2 = 36\)). أما البسط \(N(\text{المجموع})\) فهو عدد النتائج التي يبلغ مجموعها هدفك. ونحسب \(N(\text{المجموع})\) عن طريق الالتفاف (convolution): إذ يتم دمج توزيع حبة نرد واحدة مع نفسه بشكل متكرر، مرة واحدة لكل حبة إضافية. وهذا يمثّل معامل \(x^{\text{المجموع}}\) في المقدار \((x + x^2 + \cdots + x^s)^n\).
مثال محلول
ارمِ حبتي نرد سداسيتين قياسيتين واطلب أن يكون المجموع 7. التركيبات الممكنة هي (1،6) و(2،5) و(3،4) و(4،3) و(5،2) و(6،1) — أي 6 طرق. وإجمالي النتائج هو \(6^2 = 36\). إذن $$P = \frac{6}{36} = 0.16667$$ أي نحو 16.67%، وهو المجموع الأكثر احتمالاً عند رمي حبتي نرد.
الأسئلة الشائعة
لماذا نعدّ النتائج المرتّبة؟ لأن كل حبة نرد متميّزة عن الأخرى، فالنتيجة (2،5) تختلف عن (5،2) وكلتاهما نتيجة منفصلة ومتساوية في الاحتمال. وعدّها بشكل منفصل يبقي جميع النتائج متساوية الاحتمال، وهذا شرط أساسي لصحة المعادلة.
هل يمكنني استخدام نرد غير اعتيادي؟ نعم. اضبط عدد الأوجه على 4 أو 8 أو 10 أو 20 أو أي قيمة من 2 إلى 100 لتمثيل النرد d4 وd8 وd10 وd20 وغيرها.
ماذا لو كان المجموع المستهدف مستحيلاً؟ إذا كان هدفك أقل من \(n\) (كل الأوجه واحد) أو أكبر من \(n\) مضروباً في عدد الأوجه (كل الأوجه القيمة القصوى)، فإن الاحتمال يكون صفراً ببساطة.
