이 계산기는 무엇을 하나요
이 도구는 여러 개의 주사위를 한 번에 굴렸을 때 특정 합이 나올 정확한 확률을 계산합니다. 흔히 쓰는 육면체 주사위뿐만 아니라, 임의의 개수(\(n\))와 임의의 면 수(\(s\))를 가진 공정한 주사위라면 무엇이든 적용됩니다. 시뮬레이션으로 어림잡는 대신 가능한 모든 순서쌍 결과를 하나하나 정확히 세기 때문에, 결과는 수학적으로 완벽하게 정확합니다.
사용 방법
주사위 개수, 각 주사위의 면 수, 그리고 합이 되기를 원하는 목표값을 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 확률을 백분율과 소수로 보여주고, 유리한 경우의 수, 전체 경우의 수, 그리고 "N분의 1" 형태의 승산(odds)까지 확인할 수 있습니다. 가능한 합의 범위는 나올 수 있는 가장 작은 합과 가장 큰 합을 알려 줍니다.
공식 풀이
확률은 $$P(\text{sum}=\text{Target}) = \frac{N(\text{Target})}{\text{Sides}^{\,\text{Dice}}}$$ 입니다. 분모 \(s^n\)은 동일한 확률을 가진 전체 순서쌍 결과의 수입니다(육면체 주사위 두 개라면 \(6^2 = 36\)). 분자 \(N(\text{합})\)은 그중에서 목표 합이 되는 결과의 수입니다. \(N(\text{합})\)은 합성곱(convolution)으로 구합니다. 주사위 하나의 분포를 주사위가 늘어날 때마다 한 번씩 자기 자신과 반복해서 결합하는 방식이죠. 이는 \(\left(x + x^{2} + \cdots + x^{s}\right)^{n}\) 을 전개했을 때 \(x^{\text{합}}\) 항의 계수와 같습니다.
예제 풀이
표준 육면체 주사위 두 개를 굴려 합이 7이 되는 경우를 살펴봅시다. 가능한 조합은 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — 즉 6가지입니다. 전체 경우의 수는 \(6^2 = 36\)입니다. 따라서 $$P = \frac{6}{36} = 0.16667$$ 약 16.67%이며, 이는 주사위 두 개에서 단일 합으로는 가장 나오기 쉬운 값입니다.
자주 묻는 질문
왜 순서쌍으로 세나요? 각 주사위는 서로 구별되므로 (2,5)와 (5,2)는 서로 다른, 동일한 확률의 결과입니다. 이를 따로 세야 모든 결과가 같은 확률을 갖게 되며, 이것이 공식 성립의 전제 조건입니다.
비표준 주사위도 쓸 수 있나요? 네. 면 수를 4, 8, 10, 20 등 2부터 100까지 어떤 값으로든 설정해 d4, d8, d10, d20 같은 다양한 주사위를 모델링할 수 있습니다.
목표 합이 불가능한 값이면요? 목표값이 \(n\)보다 작거나(모두 1이 나오는 경우의 최솟값) 면 수에 \(n\)을 곱한 값보다 크면(모두 최댓값이 나오는 경우), 확률은 그냥 0이 됩니다.
