Máy tính số Pi kiểu Machin với công thức bốn số hạng

Nhập phép tính

Công thức Gauss (1863) Stormer (1896) Escott (1896) K. Takano (1982) T. Murata (1982) A. Shibata (1983)

Số chữ số hiển thị (độ chính xác) 6 chữ số có nghĩa 10 chữ số có nghĩa 14 chữ số có nghĩa 18 chữ số có nghĩa 22 chữ số có nghĩa 26 chữ số có nghĩa 30 chữ số có nghĩa 34 chữ số có nghĩa 38 chữ số có nghĩa 42 chữ số có nghĩa 46 chữ số có nghĩa 50 chữ số có nghĩa

Công thức

Show calculation steps (1)

1. Gregory series for arctangent

   

   Each arctangent is the rapidly converging Taylor/Maclaurin series.

Kết quả

Giá trị pi tính được

3,141592653589793

pi (hằng số toán học)

Công thức	Gauss (1863)
Số chữ số yêu cầu	46
Độ chính xác thực tế	~16 significant digits (double precision)

Máy tính số Pi kiểu Machin là gì?

Công cụ này tính hằng số toán học pi dựa trên một trong sáu công thức arctang "kiểu Machin" gồm bốn số hạng đã đi vào lịch sử. Mỗi công thức biểu diễn pi/4 dưới dạng tổng có trọng số của bốn số hạng arctan(1/x) với x lớn, nhờ đó chuỗi Gregory bên dưới hội tụ rất nhanh. Cả sáu công thức đều cho ra cùng một hằng số pi; chúng chỉ khác nhau ở tốc độ hội tụ và nguồn gốc lịch sử.

Cách sử dụng

Hãy chọn một công thức từ danh sách thả xuống (Gauss 1863, Stormer 1896, Escott 1896, K. Takano 1982, T. Murata 1982 hoặc A. Shibata 1983) và quyết định số chữ số có nghĩa muốn hiển thị. Máy tính sẽ lần lượt tính từng giá trị arctang rồi kết hợp lại thành pi. Vì phiên bản này dùng số thực dấu phẩy động độ chính xác kép (double precision) nên độ chính xác thực tế chỉ vào khoảng 15–16 chữ số có nghĩa, bất kể bạn chọn hiển thị nhiều chữ số đến đâu.

Giải thích công thức

Một công thức kiểu Machin có dạng $$\frac{\pi}{4} = a_1\arctan\frac{1}{b_1} + a_2\arctan\frac{1}{b_2} + a_3\arctan\frac{1}{b_3} + a_4\arctan\frac{1}{b_4}.$$ Mỗi số hạng arctang được tính bằng chuỗi Gregory $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots,$$ hội tụ nhanh khi \(x = 1/b\) nhỏ. Nhân tổng có trọng số với \(4\) ta thu được pi.

Quảng cáo

Mỗi số hạng đo một góc có tang là phân số nhỏ 1/b, cộng lại thành một phần tư vòng (pi/4).

Ví dụ minh họa

Dùng công thức Gauss (1863): $$\frac{\pi}{4} = 12\arctan\frac{1}{38} + 20\arctan\frac{1}{57} + 7\arctan\frac{1}{239} + 24\arctan\frac{1}{268}.$$ Tính từng số hạng arctang ta được \(0{,}0263097861\); \(0{,}0175420604\); \(0{,}0041840760\) và \(0{,}0037313259\). Tổng có trọng số bằng \(0{,}785398163\), nhân với \(4\) cho ra \(\pi = 3{,}14159265358979\).

Công thức kiểu Machin bốn số hạng cộng bốn arctang có trọng số để tạo lại pi/4.

Câu hỏi thường gặp

Vì sao mọi công thức đều cho cùng một kết quả? Vì chúng là những đẳng thức tương đương về mặt đại số cho pi/4; chỉ tốc độ hội tụ là khác nhau.

Tôi có thể lấy được 50 chữ số không? Phần hiển thị cho phép yêu cầu tới 50 chữ số, nhưng độ chính xác kép tiêu chuẩn chỉ đạt tối đa khoảng 15–16 chữ số có nghĩa, nên những chữ số dôi ra không còn đáng tin cậy.

Công thức kiểu Machin là gì? Đó là dạng tổng quát hóa của công thức năm 1706 do John Machin đưa ra: $$\frac{\pi}{4} = 4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239},$$ sử dụng các số hạng arctang với đối số nhỏ để hội tụ nhanh.