ما هي حاسبة باي بصيغ ماكين؟
تحسب هذه الأداة الثابت الرياضي باي باستخدام واحدة من ست صيغ تاريخية «من نوع ماكين» تعتمد على أربعة حدود من قوس الظل (arctan). تعبّر كل صيغة عن باي/4 كمجموع موزون لأربعة حدود من النوع \(\arctan(1/x)\) بقيم كبيرة لـ \(x\)، ما يجعل متسلسلة غريغوري الأساسية تتقارب بسرعة. والصيغ الست جميعها تعطي ثابت باي نفسه بالضبط؛ ولا تختلف إلا في سرعة التقارب وأصلها التاريخي.
كيفية الاستخدام
اختر صيغة من القائمة المنسدلة (غاوس 1863، شتورمر 1896، إسكوت 1896، ك. تاكانو 1982، ت. موراتا 1982، أو أ. شيباتا 1983)، ثم حدّد عدد الأرقام المعنوية التي تريد عرضها. بعد ذلك تحسب الأداة كل حدّ من حدود قوس الظل وتجمعها للوصول إلى باي. ولأن هذا الإصدار يستخدم الفاصلة العائمة بدقة مضاعفة، فإن الدقة الفعلية تبقى نحو 15 إلى 16 رقماً معنوياً بصرف النظر عن خيار العرض الأكبر الذي تختاره.
شرح الصيغة
تأخذ صيغة من نوع ماكين الشكل التالي:
$$\frac{\pi}{4} = a_1\cdot\arctan\frac{1}{b_1} + a_2\cdot\arctan\frac{1}{b_2} + a_3\cdot\arctan\frac{1}{b_3} + a_4\cdot\arctan\frac{1}{b_4}$$ويمكن حساب كل حدّ من قوس الظل بمتسلسلة غريغوري:
$$\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$$وهي تتقارب بسرعة عندما تكون \(x = 1/b\) قيمة صغيرة. وبضرب المجموع الموزون في 4 نحصل على باي.
مثال محلول
باستخدام صيغة غاوس (1863):
$$\frac{\pi}{4} = 12\cdot\arctan\frac{1}{38} + 20\cdot\arctan\frac{1}{57} + 7\cdot\arctan\frac{1}{239} + 24\cdot\arctan\frac{1}{268}$$وبحساب حدود قوس الظل نحصل على \(0.0263097861\) و\(0.0175420604\) و\(0.0041840760\) و\(0.0037313259\). ويساوي المجموع الموزون \(0.785398163\)، وبضربه في 4 ينتج \(\pi = 3.14159265358979\).
الأسئلة الشائعة
لماذا تعطي كل الصيغ النتيجة نفسها؟ لأنها متطابقات جبرية مكافئة لباي/4؛ ولا يختلف بينها سوى معدل التقارب.
هل يمكنني الحصول على 50 رقماً؟ يتيح لك العرض طلب ما يصل إلى 50 رقماً، لكن الدقة المضاعفة المعيارية تتوقف عند نحو 15 إلى 16 رقماً معنوياً، لذا فإن الأرقام الإضافية غير موثوقة.
ما هي صيغة «من نوع ماكين»؟ هي تعميم لصيغة جون ماكين التي وضعها عام 1706: \(\frac{\pi}{4} = 4\cdot\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}\)، وتعتمد على حدود قوس الظل بوسائط صغيرة لتحقيق تقارب سريع.
