ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة الثابت الرياضي باي (ط) باستخدام واحدة من أربع متطابقات ماشين الكلاسيكية الثلاثية الحدود لقوس الظل. تكتب كل متطابقة المقدار ط/4 على هيئة مجموع موزون لثلاثة حدود من قوس الظل تأخذ الشكل أ · قوس‑ظل(1/ب)، حيث يكون كل معامل عددًا صحيحًا تمامًا. ولأن كل وسيط 1/ب صغير، فإن قوس الظل يُحسب بكفاءة عبر متسلسلة غريغوري (ماكلورين) للقوى. هذه رياضيات بحتة تنطبق عالميًا دون أي افتراضات إقليمية.
كيفية الاستخدام
اختر صيغة من القائمة المنسدلة: كلينغنشتيرنا (1730)، أو شتراسنتسكي (1844)، أو غاوس (1863)، أو شتورمر (1896). ثم حدّد عدد أرقام الدقة المطلوبة. تتقارب الصيغ الأربع جميعها نحو القيمة نفسها لباي (ط)؛ والفرق بينها فقط في سرعة استقرار متسلسلة قوس الظل. فالصيغ ذات المقامات الأكبر (مثل 239 و515) تتقارب أسرع من المقامات الصغيرة عند شتراسنتسكي. ولاحظ أن هذا الإصدار يستخدم الفاصلة العائمة مزدوجة الدقة، لذا تظل الدقة المعروضة محدودة بنحو 15–16 رقمًا معنويًا بصرف النظر عن الدقة المطلوبة.
شرح الصيغة
بالنسبة إلى المعاملات المختارة، تحسب الأداة كل حدّ على النحو $$\text{term}_i = a_i \cdot \text{atanSeries}\left(\tfrac{1}{b_i}\right)$$ حيث $$\text{atanSeries}(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$$ تُجمع المتسلسلة حتى تصبح الزيادة التالية أصغر من القيمة المسموح بها (نحو 10 مرفوعة إلى سالب عدد الأرقام زائد اثنين). وأخيرًا \(\pi = 4 \times (\text{الحد}_1 + \text{الحد}_2 + \text{الحد}_3)\). أما المعاملات السالبة فتطرح ببساطة حدّ قوس الظل الخاص بها، وتُحفظ الإشارة تمامًا كما هي مدوّنة في الجدول.
مثال محلول
باستخدام متطابقة شتراسنتسكي: \(\arctan(1/2) = 0.4636476090008061\)، و\(\arctan(1/5) = 0.1973955598498807\)، و\(\arctan(1/8) = 0.1243549945467614\). ومجموعها هو $$0.4636476090008061 + 0.1973955598498807 + 0.1243549945467614 = 0.7853981633974482$$ وأربعة أمثاله تساوي $$4 \times 0.7853981633974482 = 3.141592653589793$$ وهو ما يطابق باي (ط) بكامل الدقة المزدوجة.
الأسئلة الشائعة
لماذا نستخدم متطابقات قوس الظل بدلًا من متسلسلة أبسط؟ تتقارب متسلسلة لايبنتس البسيطة لحساب ط/4 ببطء مؤلم. أما تقسيم ط/4 إلى أقواس ظل ذات وسائط صغيرة فيجعل كل متسلسلة تتقارب أسرع بكثير.
لماذا لا أستطيع الحصول على 50 رقمًا دقيقًا؟ الحساب القياسي مزدوج الدقة لا يحمل سوى نحو 15–16 رقمًا عشريًا معنويًا. أما الإصدار الحقيقي عالي الدقة فيستخدم حساب BigDecimal لبلوغ الأهداف الأكبر.
هل تعطي الصيغ الأربع النتيجة نفسها؟ نعم. فهي متطابقات مكافئة رياضيًا لباي (ط)؛ ولا يختلف بينها سوى سرعة التقارب.
