Pi Hesaplayıcı: Üç Terimli Machin Tipi ATAN Formülleri

Hesaplamaya Girin

Hesaplama formülü Klingenstierna 1730: 8 atan(1/10) - atan(1/239) - 4 atan(1/515) Strassnitzky 1844: atan(1/2) + atan(1/5) + atan(1/8) Gauss 1863: 12 atan(1/18) + 8 atan(1/57) - 5 atan(1/239) Störmer 1896: 5 atan(1/6) - atan(1/43) - 2 atan(1/117)

Basamak sayısı (hassasiyet) 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50 Çift duyarlıklı aritmetikte gösterilen hassasiyet yaklaşık 15-16 anlamlı basamakla sınırlıdır.

Formül

Show calculation steps (1)

1. Gregory (Maclaurin) series for arctangent

   

   Each arctan of a small argument x = 1/b is summed term by term until the increment falls below the precision target.

Sonuç

Hesaplanan pi değeri

3,141592653589793

pi (boyutsuz)

1. terim	0,797349219929296
2. terim	-0,004184076002075
3. terim	-0,007766980529773
Math.PI'ye göre mutlak hata	4,440892098500626E-16

Bu hesaplayıcı ne işe yarar?

Bu araç, matematiksel sabit olan pi sayısını, dört klasik üç terimli Machin tipi arktanjant özdeşliğinden biriyle hesaplar. Her özdeşlik, pi/4'ü \(a\cdot\arctan(1/b)\) biçiminde üç arktanjant teriminin ağırlıklı toplamı olarak yazar; buradaki bütün katsayılar tam sayıdır. Her \(1/b\) argümanı küçük olduğu için arktanjant, Gregory (Maclaurin) kuvvet serisiyle verimli biçimde hesaplanır. Bu tamamen matematiksel bir yöntemdir; herhangi bir bölgesel varsayım içermez ve her yerde aynı şekilde geçerlidir.

Nasıl kullanılır?

Açılır menüden bir formül seçin: Klingenstierna (1730), Strassnitzky (1844), Gauss (1863) veya Störmer (1896). Ardından kaç basamaklık hassasiyet istediğinizi belirleyin. Dört formül de pi'nin aynı değerine yakınsar; aralarındaki tek fark, arktanjant serisinin ne kadar hızlı oturduğudur. Paydası büyük olan formüller (örneğin 239 ve 515) Strassnitzky'nin küçük paydalarına göre çok daha hızlı yakınsar. Bu sürümün çift duyarlıklı (double) kayan nokta aritmetiği kullandığını unutmayın; bu nedenle istediğiniz hassasiyetten bağımsız olarak gösterilen doğruluk kabaca 15-16 anlamlı basamakla sınırlıdır.

Formülün açıklaması

Seçilen katsayılar için hesaplayıcı her terimi term_i = a_i * atanSeries(1/b_i) olarak değerlendirir; bu da şu biçimdedir:

$$\pi = 4\left(a_1\arctan\tfrac{1}{b_1} + a_2\arctan\tfrac{1}{b_2} + a_3\arctan\tfrac{1}{b_3}\right)$$

burada

$$\arctan x = x - \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^5}{5} - \tfrac{x^7}{7} + \cdots$$

şeklindedir. Seri, bir sonraki ek terim toleranstan (yaklaşık 10 üzeri eksi basamak sayısı artı iki) daha küçük olana kadar toplanır. Son olarak \(\pi = 4\times(\text{term1} + \text{term2} + \text{term3})\) bulunur. Negatif katsayılar yalnızca ilgili arktanjant terimini çıkarır ve işaret, tabloda verildiği gibi birebir korunur.

Reklam

Ağırlıklı üç arktanjant açısı birleşerek pinin dörtte birine eşit olur.

Her \(\arctan(1/b)\) terimi, dik kenarları 1 ve \(b\) olan bir dik üçgenin açısıdır.

Çözümlü örnek

Strassnitzky özdeşliğini kullanalım: \(\arctan(1/2) = 0.4636476090008061\), \(\arctan(1/5) = 0.1973955598498807\), \(\arctan(1/8) = 0.1243549945467614\). Bunların toplamı \(0.7853981633974482\), dört katı ise \(3.141592653589793\) olur; bu da pi'yi tam çift duyarlık düzeyinde verir.

Sıkça sorulan sorular

Neden daha basit bir seri yerine arktanjant özdeşlikleri kullanılıyor? Pi/4 için kullanılan klasik Leibniz serisi son derece yavaş yakınsar. Pi/4'ü küçük argümanlı arktanjantlara bölmek, her bir serinin çok daha hızlı yakınsamasını sağlar.

Neden 50 basamaklık tam sonuç alamıyorum? Standart çift duyarlıklı aritmetik yalnızca yaklaşık 15-16 anlamlı ondalık basamak taşır. Gerçek bir keyfi duyarlıklı sürüm, daha büyük hedeflere ulaşmak için BigDecimal aritmetiği kullanırdı.

Dört formül de aynı sonucu mu veriyor? Evet. Bunlar pi için matematiksel olarak eşdeğer özdeşliklerdir; yalnızca yakınsama hızları farklıdır.