이 계산기는 무엇을 하나요?
이 도구는 네 가지 고전적인 3항 머신형(Machin-like) 아크탄젠트 항등식 가운데 하나를 사용해 수학 상수 원주율 π를 계산합니다. 각 항등식은 π/4를 \(a \cdot \arctan(1/b)\) 형태의 아크탄젠트 항 세 개의 가중합으로 나타내며, 모든 계수는 정확한 정수입니다. 인수 1/b가 작기 때문에 그레고리(매클로린) 멱급수로 아크탄젠트를 효율적으로 계산할 수 있습니다. 이는 순수 수학으로, 어떤 지역적 가정도 없이 보편적으로 적용됩니다.
사용 방법
드롭다운에서 공식을 하나 고르세요: 클링엔스티에르나(1730), 스트라스니츠키(1844), 가우스(1863), 슈퇴르머(1896) 중 하나입니다. 그런 다음 원하는 정밀도(자릿수)를 선택하세요. 네 공식 모두 동일한 π 값으로 수렴하며, 차이는 아크탄젠트 급수가 얼마나 빨리 안정되느냐에 있을 뿐입니다. 분모가 큰 공식(예: 239, 515)은 스트라스니츠키의 작은 분모보다 더 빠르게 수렴합니다. 다만 이 버전은 배정밀도(double-precision) 부동소수점을 사용하므로, 요청한 정밀도와 관계없이 표시되는 정확도는 약 15~16개의 유효 숫자로 제한됩니다.
공식 설명
선택한 계수에 대해 계산기는 각 항을 다음과 같이 계산합니다.
$$\text{term}_i = a_i \cdot \text{atanSeries}(1/b_i)$$여기서
$$\text{atanSeries}(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$$입니다. 이 급수는 다음 증분이 허용 오차(대략 10의 -(자릿수+2)승)보다 작아질 때까지 합산됩니다. 마지막으로 다음으로 구합니다.
$$\pi = 4 \times (\text{term1} + \text{term2} + \text{term3})$$음의 계수는 해당 아크탄젠트 항을 빼는 것이며, 부호는 표에 기재된 그대로 정확히 유지됩니다.
계산 예시
스트라스니츠키의 항등식을 사용하면:
$$\arctan\tfrac{1}{2} = 0.4636476090008061$$$$\arctan\tfrac{1}{5} = 0.1973955598498807$$$$\arctan\tfrac{1}{8} = 0.1243549945467614$$입니다. 이들의 합은 \(0.7853981633974482\)이고, 이를 4배 하면 \(3.141592653589793\)으로, 배정밀도 한도까지 π와 정확히 일치합니다.
자주 묻는 질문
더 간단한 급수 대신 왜 아크탄젠트 항등식을 쓰나요? π/4를 구하는 단순한 라이프니츠 급수는 수렴이 견딜 수 없을 만큼 느립니다. π/4를 작은 인수의 아크탄젠트로 나누면 각 급수가 훨씬 빠르게 수렴합니다.
왜 정확한 50자리를 얻을 수 없나요? 표준 배정밀도 연산은 유효 숫자를 약 15~16자리만 담을 수 있습니다. 진정한 임의 정밀도 버전이라면 BigDecimal 연산을 사용해 더 큰 목표 자릿수에 도달할 수 있을 것입니다.
네 공식 모두 같은 답을 주나요? 그렇습니다. 네 공식은 수학적으로 동등한 π의 항등식이며, 다른 것은 수렴 속도뿐입니다.
