Machin Tipi Pi Hesaplayıcı nedir?
Bu araç, matematiksel sabit pi sayısını altı tarihî "Machin tipi" dört terimli arktanjant formülünden biriyle hesaplar. Her formül, pi/4 değerini büyük x değerleri içeren dört adet arctan(1/x) teriminin ağırlıklı toplamı olarak ifade eder; böylece temeldeki Gregory serisi hızlıca yakınsar. Altı formülün hepsi de aynı pi sabitini üretir; aralarındaki tek fark yakınsama hızları ve tarihî kökenleridir.
Nasıl kullanılır?
Açılır menüden bir formül seçin (Gauss 1863, Störmer 1896, Escott 1896, K. Takano 1982, T. Murata 1982 veya A. Shibata 1983) ve kaç anlamlı basamak görüntülemek istediğinizi belirleyin. Hesaplayıcı, her arktanjantı hesaplayıp bunları birleştirerek pi sayısını elde eder. Bu sürüm çift duyarlıklı kayan nokta aritmetiği kullandığı için, daha yüksek bir görüntüleme seçeneği seçseniz bile etkin doğruluk yaklaşık 15-16 anlamlı basamakla sınırlıdır.
Formülün açıklaması
Bir Machin tipi formül şu biçimdedir: $$\frac{\pi}{4} = a_1\arctan\frac{1}{b_1} + a_2\arctan\frac{1}{b_2} + a_3\arctan\frac{1}{b_3} + a_4\arctan\frac{1}{b_4}.$$ Her arktanjant, Gregory serisi $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$$ ile hesaplanabilir; bu seri \(x = 1/b\) değeri küçük olduğunda hızla yakınsar. Ağırlıklı toplamı 4 ile çarpmak pi sayısını verir.
Çözümlü örnek
Gauss (1863) kullanılırsa: $$\frac{\pi}{4} = 12\arctan\frac{1}{38} + 20\arctan\frac{1}{57} + 7\arctan\frac{1}{239} + 24\arctan\frac{1}{268}.$$ Arktanjantlar hesaplandığında \(0{,}0263097861\), \(0{,}0175420604\), \(0{,}0041840760\) ve \(0{,}0037313259\) değerleri elde edilir. Ağırlıklı toplam \(0{,}785398163\)'e eşittir ve 4 ile çarpıldığında \(\pi = 3{,}14159265358979\) sonucunu verir.
Sıkça Sorulan Sorular
Tüm formüller neden aynı sonucu veriyor? Bunlar pi/4 için cebirsel olarak denk özdeşliklerdir; yalnızca yakınsama hızları farklıdır.
50 basamak alabilir miyim? Görüntüleme seçeneği 50 basamağa kadar talep etmenize izin verir, ancak standart çift duyarlık yaklaşık 15-16 anlamlı basamakta sınıra ulaşır; bu nedenle fazladan basamaklar güvenilir değildir.
Machin tipi formül nedir? John Machin'in 1706 tarihli $$\frac{\pi}{4} = 4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$$ formülünün, hızlı yakınsama için küçük argümanlı arktanjant terimleri kullanan bir genellemesidir.
