什么是类Machin圆周率π计算器？
本工具可在六个历史上著名的「类Machin」四项反正切公式中任选其一来计算数学常数π。每个公式都把 \(\pi/4\) 表示为四个 \(\arctan(1/x)\) 项的加权和，其中 \(x\) 取值很大，因此底层的格雷戈里级数收敛得非常快。这六个公式算出的π完全相同，区别只在于收敛速度和它们各自的历史渊源。
使用方法
先从下拉菜单中选一个公式（高斯 1863、Størmer 1896、Escott 1896、高野 K. Takano 1982、村田 T. Murata 1982 或柴田 A. Shibata 1983），再选择想显示多少位有效数字。计算器会逐项计算反正切，并把它们合成π。由于本工具采用双精度浮点运算，无论你选择多大的显示位数，实际有效精度都大约只有 15～16 位有效数字。
公式解析
类Machin公式的一般形式为：
$$\frac{\pi}{4} = a_1\cdot\arctan\frac{1}{b_1} + a_2\cdot\arctan\frac{1}{b_2} + a_3\cdot\arctan\frac{1}{b_3} + a_4\cdot\arctan\frac{1}{b_4}$$其中每个反正切都可用格雷戈里级数计算：
$$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$$当 \(x = 1/b\) 很小时，该级数收敛得非常快。把这个加权和乘以 4，就得到π。
计算实例
以高斯公式（1863）为例：
$$\frac{\pi}{4} = 12\cdot\arctan\frac{1}{38} + 20\cdot\arctan\frac{1}{57} + 7\cdot\arctan\frac{1}{239} + 24\cdot\arctan\frac{1}{268}$$计算各反正切项分别得到 \(0.0263097861\)、\(0.0175420604\)、\(0.0041840760\) 和 \(0.0037313259\)。加权求和等于 \(0.785398163\)，再乘以 4 即得 \(\pi = 3.14159265358979\)。
常见问题
为什么所有公式算出的结果都一样？因为它们都是 \(\pi/4\) 的代数等价恒等式，唯一不同的只是收敛速度。
能算到 50 位吗？显示选项最多允许请求 50 位，但标准双精度的上限大约在 15～16 位有效数字，因此超出部分的数字并不可靠。
什么是类Machin公式？它是约翰·梅钦（John Machin）1706 年公式 \(\pi/4 = 4\cdot\arctan(1/5) - \arctan(1/239)\) 的推广，使用参数很小的反正切项以实现快速收敛。
