这个计算器能做什么
本工具通过计算历史上几种著名的"马青类"双项反正切公式，来求出数学常数圆周率π。每一个公式都把 \(\pi/4\) 表示为两个小有理数的反正切值的加权和，而每个反正切又用经典的格里高利／莱布尼茨幂级数展开。由于参数都很小，级数收敛得很快，只需寥寥数项即可达到完整的双精度精度。
使用方法
从下拉菜单里选择一个著名公式——马青（Machin，1706）、赫尔曼（Hermann，1706）、欧拉（Euler，1738）、欧拉与维加（Euler & Vega，1755）或赫顿（Hutton，1776）。接着设定你想要的有效数字位数，以及级数项数的上限（最大迭代次数）。计算器会返回算得的圆周率π值、在下一项小于容差之前累加的项数，以及与真实π值相比的绝对误差。
提示：这一重构版本采用 IEEE 双精度浮点运算，能可靠保证约 15～16 位有效数字。超出此范围的设定会被限制在 15 位；若要计算原工具支持的 22～50 位精度，则需要使用任意精度（大数）运算。
公式详解
通用恒等式为 $$\pi = 4\left(c_1\,\arctan\frac{p_1}{q_1} + c_2\,\arctan\frac{p_2}{q_2}\right)$$ 格里高利级数 $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots$$ 会逐项累加，直到某一项小于容差 \(0.5\times10^{-(\text{位数}+2)}\) 为止。参数越小，收敛越快：马青公式中的 \(1/5\) 与 \(1/239\)，比欧拉公式的 \(1/2\) 与 \(1/3\) 所需项数要少得多，却能达到更高精度。
计算实例（马青 1706）
取 \(\text{arg1} = 1/5\)、\(c_1 = 4\)，则 \(\arctan(0.2) \approx 0.19739555985\)；取 \(\text{arg2} = 1/239\)、\(c_2 = -1\)，则 \(\arctan(1/239) \approx 0.00418407600\)。于是 $$\frac{\pi}{4} = 4\cdot 0.19739555985 - 0.00418407600 = 0.78539816339$$ 所以 $$\pi = 4\cdot 0.78539816339 = 3.14159265359$$ 与真实值完全吻合。
常见问题
为什么不提供莱布尼茨级数（arctan 1）这个选项？因为 \(\arctan(1) = \pi/4\) 收敛得极其缓慢——累加上千项也只能得到几位正确数字——所以它只作为历史背景被提及，而不作为快速公式提供。
为什么马青公式用的项数比欧拉少？因为它的参数（\(1/5\)、\(1/239\)）更小，而格里高利级数在 \(|x|\) 越小时收敛越快。
在这里能算出 40 位的圆周率吗？双精度做不到；结果大约可靠到 15 位。要更高精度，就得借助大数（big-decimal）运算。
