Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la constante matemática Pi evaluando una de varias fórmulas históricas «tipo Machin» de arcotangente de dos términos. Cada fórmula expresa Pi/4 como una suma ponderada de dos arcotangentes de números racionales pequeños, y cada arcotangente se desarrolla con la clásica serie de potencias de Gregory/Leibniz. Como los argumentos son pequeños, la serie converge con rapidez y bastan unos pocos términos para alcanzar la precisión completa de doble precisión.
Cómo usarla
Elige una fórmula célebre en el desplegable: Machin (1706), Hermann (1706), Euler (1738), Euler y Vega (1755) o Hutton (1776). Indica cuántas cifras significativas deseas y un límite para el número de términos de la serie (máximo de iteraciones). La calculadora devuelve el valor obtenido de Pi, el número de términos que sumó antes de que el siguiente cayera por debajo de la tolerancia y el error absoluto respecto al valor real de Pi.
Nota: esta versión reconstruida emplea aritmética de doble precisión IEEE, que es fiel hasta unas 15-16 cifras significativas. Los ajustes superiores a ese límite se recortan a 15 cifras; para los rangos de 22 a 50 cifras de la herramienta original haría falta aritmética de precisión arbitraria.
La fórmula explicada
La identidad general es $$\pi = 4\left(c_1\,\arctan\frac{p_1}{q_1} + c_2\,\arctan\frac{p_2}{q_2}\right)$$ La serie de Gregory \(\arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + \ldots\) se suma término a término hasta que uno cae por debajo de la tolerancia \(0{,}5\times10^{-(\text{cifras}+2)}\). Cuanto más pequeño es el argumento, más rápido converge: el 1/5 y el 1/239 de Machin alcanzan una gran precisión con muchos menos términos que el 1/2 y el 1/3 de Euler.
Ejemplo resuelto (Machin, 1706)
Con arg1 = 1/5 y c1 = 4, \(\arctan(0{,}2) \approx 0{,}19739555985\). Con arg2 = 1/239 y c2 = −1, \(\arctan(1/239) \approx 0{,}00418407600\). Entonces $$\frac{\pi}{4} = 4\cdot 0{,}19739555985 - 0{,}00418407600 = 0{,}78539816339$$ de modo que $$\pi = 4\cdot 0{,}78539816339 = 3{,}14159265359$$ que coincide con el valor real.
Preguntas frecuentes
¿Por qué no aparece la serie de Leibniz (arctan 1)? Porque \(\arctan(1) = \pi/4\) converge con una lentitud desesperante —miles de términos solo aportan unas pocas cifras correctas—, así que se menciona por su valor histórico, pero no se ofrece como fórmula rápida.
¿Por qué Machin usa menos términos que Euler? Sus argumentos (1/5, 1/239) son más pequeños y la serie de Gregory converge más rápido cuanto menor es \(|x|\).
¿Puedo obtener 40 cifras de Pi aquí? No con doble precisión; el resultado es fiable hasta unas 15 cifras. Para más precisión se necesita aritmética de decimales grandes (big-decimal).
