¿Qué es la calculadora de Pi tipo Machin?
Esta herramienta calcula la constante matemática pi mediante una de seis fórmulas históricas «tipo Machin» de arcotangente con cuatro términos. Cada fórmula expresa pi/4 como una suma ponderada de cuatro términos \(\arctan(1/x)\) con valores grandes de \(x\), de modo que la serie de Gregory subyacente converge con rapidez. Las seis fórmulas dan exactamente la misma constante pi; solo se diferencian en su velocidad de convergencia y en su origen histórico.
Cómo utilizarla
Elige una fórmula en el menú desplegable (Gauss 1863, Stormer 1896, Escott 1896, K. Takano 1982, T. Murata 1982 o A. Shibata 1983) y selecciona cuántas cifras significativas quieres ver. La calculadora evalúa entonces cada arcotangente y las combina para obtener pi. Como esta versión utiliza coma flotante de doble precisión, la exactitud real ronda las 15-16 cifras significativas, independientemente de que elijas mostrar más dígitos.
La fórmula explicada
Una fórmula tipo Machin tiene la forma $$\frac{\pi}{4} = a_1\arctan\frac{1}{b_1} + a_2\arctan\frac{1}{b_2} + a_3\arctan\frac{1}{b_3} + a_4\arctan\frac{1}{b_4}.$$ Cada arcotangente puede calcularse con la serie de Gregory $$\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots,$$ que converge deprisa cuando \(x = 1/b\) es pequeño. Al multiplicar por 4 la suma ponderada se obtiene pi.
Ejemplo resuelto
Con la fórmula de Gauss (1863): $$\frac{\pi}{4} = 12\arctan\frac{1}{38} + 20\arctan\frac{1}{57} + 7\arctan\frac{1}{239} + 24\arctan\frac{1}{268}.$$ Al evaluar las arcotangentes se obtiene \(0{,}0263097861\), \(0{,}0175420604\), \(0{,}0041840760\) y \(0{,}0037313259\). La suma ponderada es \(0{,}785398163\), y al multiplicarla por 4 resulta $$\pi = 3{,}14159265358979.$$
Preguntas frecuentes
¿Por qué todas las fórmulas dan el mismo resultado? Son identidades algebraicamente equivalentes para pi/4; lo único que cambia es la velocidad de convergencia.
¿Puedo obtener 50 cifras? La pantalla permite pedir hasta 50 dígitos, pero la doble precisión estándar se queda en unas 15-16 cifras significativas, así que los dígitos adicionales no son fiables.
¿Qué es una fórmula tipo Machin? Es una generalización de la fórmula de John Machin de 1706, $$\frac{\pi}{4} = 4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239},$$ que emplea términos de arcotangente con argumentos pequeños para lograr una convergencia rápida.
