मैकिन-समान पाई कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल छह ऐतिहासिक "मैकिन-समान" चार-पद आर्कटैंजेंट सूत्रों में से किसी एक का उपयोग करके गणितीय स्थिरांक पाई की गणना करता है। हर सूत्र pi/4 को बड़े x वाले चार arctan(1/x) पदों के भारित योग के रूप में व्यक्त करता है, जिससे इसके पीछे की ग्रेगरी श्रेणी तेज़ी से अभिसरित (converge) होती है। छहों सूत्र एक ही स्थिरांक पाई देते हैं; अंतर केवल उनकी अभिसरण गति और ऐतिहासिक उत्पत्ति में है।
इसका उपयोग कैसे करें
ड्रॉपडाउन से कोई सूत्र चुनें (गॉस 1863, स्टॉर्मर 1896, एस्कॉट 1896, के. ताकानो 1982, टी. मुराता 1982, या ए. शिबाता 1983) और तय करें कि कितने सार्थक अंक (significant digits) दिखाने हैं। इसके बाद कैलकुलेटर हर आर्कटैंजेंट का मान निकालता है और उन्हें जोड़कर पाई बनाता है। चूँकि यह बिल्ड डबल-प्रिसिज़न फ्लोटिंग पॉइंट पर आधारित है, इसलिए चाहे आप कितने भी बड़े डिस्प्ले विकल्प चुनें, असली सटीकता लगभग 15-16 सार्थक अंकों तक ही सीमित रहती है।
सूत्र की व्याख्या
एक मैकिन-समान सूत्र का रूप होता है $$\frac{\pi}{4} = a_1\arctan\frac{1}{b_1} + a_2\arctan\frac{1}{b_2} + a_3\arctan\frac{1}{b_3} + a_4\arctan\frac{1}{b_4}$$ हर आर्कटैंजेंट को ग्रेगरी श्रेणी \(\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots\) से निकाला जा सकता है, जो \(x = 1/b\) के छोटा होने पर तेज़ी से अभिसरित होती है। भारित योग को 4 से गुणा करने पर पाई मिल जाती है।
हल किया गया उदाहरण
गॉस (1863) का उपयोग करते हुए: $$\frac{\pi}{4} = 12\arctan\frac{1}{38} + 20\arctan\frac{1}{57} + 7\arctan\frac{1}{239} + 24\arctan\frac{1}{268}$$ आर्कटैंजेंट निकालने पर मान आते हैं \(0.0263097861\), \(0.0175420604\), \(0.0041840760\) और \(0.0037313259\)। इनका भारित योग \(0.785398163\) के बराबर होता है, और इसे 4 से गुणा करने पर \(\pi = 3.14159265358979\) मिलता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
सभी सूत्र एक ही उत्तर क्यों देते हैं? ये सभी pi/4 के लिए बीजगणितीय रूप से समतुल्य सर्वसमिकाएँ (identities) हैं; अंतर केवल अभिसरण की दर में है।
क्या मुझे 50 अंक मिल सकते हैं? डिस्प्ले में आप 50 अंक तक माँग सकते हैं, लेकिन सामान्य डबल प्रिसिज़न की सीमा लगभग 15-16 सार्थक अंकों तक ही है, इसलिए इससे अधिक अंक भरोसेमंद नहीं होते।
मैकिन-समान सूत्र क्या होता है? यह जॉन मैकिन के 1706 के सूत्र \(\frac{\pi}{4} = 4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}\) का सामान्यीकृत रूप है, जिसमें तेज़ अभिसरण के लिए छोटे तर्क (arguments) वाले आर्कटैंजेंट पदों का उपयोग किया जाता है।
