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सूत्र (फॉर्मूला)

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Takebe Katahiro (1722)

Series converging to pi^2/9; the k-th term has numerator (k!)^2 over a product of consecutive integers from 3. pi = 3 times the square root of the sum.

परिणाम

pi का अनुमानित मान

3.141592653589794

summed over 100 terms

सीरीज़ के योग का मान	1.047197551196598
पदों की संख्या	100
मांगे गए दिखाने वाले अंक	26

यह स्निपेट डबल-प्रिसिज़न फ़्लोटिंग पॉइंट का उपयोग करता है, इसलिए आप चाहे जितने अंक दिखाने को चुनें, सटीकता लगभग 15-16 सार्थक अंकों पर ही ठहर जाती है। Takebe Katahiro और Matsunaga Yoshisuke के ऐतिहासिक 41 या 52 अंकों वाले परिणामों को दोबारा हासिल करने के लिए आर्बिट्रेरी-प्रिसिज़न अंकगणित की ज़रूरत होगी।

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल गणितीय स्थिरांक pi का अनुमान दो ऐतिहासिक सीरीज़ में से किसी एक के पदों को जोड़कर लगाता है। ये दोनों सीरीज़ जापान के "वासन" (पारंपरिक जापानी गणित) के विद्वानों द्वारा विकसित की गई थीं। आप Takebe Katahiro (1722) की सीरीज़ चुन सकते हैं, जो pi के वर्ग को नौ से भाग देने पर अभिसरित (converge) होती है, या Matsunaga Yoshisuke (1739) की सीरीज़, जो pi को तीन से भाग देने पर अभिसरित होती है। भले ही इसका ऐतिहासिक संदर्भ जापानी है, पर इसके पीछे का गणित शुद्ध और सार्वभौमिक है — ये सीरीज़ हर जगह pi की ओर ही अभिसरित होती हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

ड्रॉपडाउन से एक सूत्र चुनें, जोड़ने के लिए पदों की संख्या N दर्ज करें (जितने अधिक पद, परिणाम उतना ही सटीक), और तय करें कि कितने अंक दिखाने हैं। कैलकुलेटर आपको pi का अनुमान और साथ में सीरीज़ का कच्चा योग भी देता है, ताकि आप बीच का मान सत्यापित कर सकें (Matsunaga के लिए $\pi/3$, और Takebe के लिए $\pi^2/9$)।

सूत्र की व्याख्या

Matsunaga में हर अगला पद पिछले पद को $(2k-1)$ के वर्ग से गुणा करके 4k गुना $(4k+2)$ से भाग देता है; चलता हुआ योग S से $\pi = 3S$ मिलता है।

$$\frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1^2}{4\cdot6} + \frac{1^2\cdot3^2}{4\cdot6\cdot8\cdot10} + \cdots = \sum_{k=0}^{N-1} \frac{((2k-1)!!)^2}{4\cdot6\cdots(4k+2)}$$

Takebe में हर पद को k के वर्ग से गुणा करके $(2k+1)(2k+2)$ से भाग दिया जाता है; इसके चलते हुए योग से $\pi = 3\sqrt{S}$ मिलता है।

$$\frac{\pi^2}{9} = \sum_{k=0}^{N-1} \frac{(k!)^2}{3\cdot4\cdots(2k+2)}$$

इन क्रमिक पुनरावृत्ति (recurrence) सूत्रों का उपयोग करने से विशाल फैक्टोरियल की गणना से बचा जा सकता है और ओवरफ़्लो की समस्या भी नहीं होती।

एक श्रेणी के योग का आरेख जिसमें क्रमिक पद घटते हुए एक निश्चित कुल की ओर बढ़ते हैं — वासन श्रेणी में जोड़ा गया हर पद छोटा होता है, इसलिए आंशिक योग पाई की ओर अभिसरित होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

Matsunaga, N = 4 पदों के साथ:

$$1 + \frac{1}{24} + \frac{9}{1920} + \frac{225}{322560} = 1.0470517113$$

इसलिए pi लगभग

$$3 \times 1.0470517113 = 3.1411551340$$

आता है। 100 पदों के साथ परिणाम पूरी डबल-प्रिसिज़न सटीकता तक पहुँच जाता है, यानी लगभग $3.14159265358979$।

श्रेणी के ढेर लगे आंशिक योग एक क्षैतिज पाई रेखा के करीब पहुंचते हुए — आंशिक योग (1 पद, 2 पद, 3 पद...) पाई के मान की ओर बढ़ते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अधिक अंक जोड़ने से सटीकता क्यों नहीं बढ़ती? यह डबल-प्रिसिज़न अंकगणित में चलता है, जो लगभग 15-16 सार्थक अंकों तक ही सीमित है। Takebe और Matsunaga की ऐतिहासिक 41 और 52 अंकों वाली उपलब्धियों के लिए आर्बिट्रेरी-प्रिसिज़न (BigDecimal) गणित की ज़रूरत होती है।

अगर मैं 1 पद दर्ज करूँ तो? तब सीरीज़ केवल पहला पद 1 ही लौटाती है, इसलिए दोनों सूत्र pi को लगभग 3 बताते हैं।

कौन सी सीरीज़ तेज़ी से अभिसरित होती है? दोनों लगातार अभिसरित होती हैं; व्यवहार में कुछ सौ पद ही डबल-प्रिसिज़न की सीमा तक पहुँचने के लिए पर्याप्त होते हैं।

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