Máy Tính Số Pi (π) Bằng Công Thức Của Các Học Giả Wasan Nhật Bản

Nhập phép tính

Công thức tính Takebe Katahiro 1722 (chuỗi tính pi²/9) Matsunaga Yoshisuke 1739 (chuỗi tính pi/3)

Số lượng số hạng

Số chữ số hiển thị 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Công thức

Show calculation steps (1)

1. Takebe Katahiro (1722)

   

   Series converging to pi^2/9; the k-th term has numerator (k!)^2 over a product of consecutive integers from 3. pi = 3 times the square root of the sum.

Kết quả

Giá trị pi gần đúng

3,141592653589794

summed over 100 terms

Giá trị tổng của chuỗi	1,047197551196598
Số lượng số hạng	100
Số chữ số hiển thị yêu cầu	26

Đoạn mã này sử dụng số thực dấu phẩy động độ chính xác kép, vì vậy độ chính xác chỉ dừng ở mức khoảng 15–16 chữ số có nghĩa bất kể bạn chọn hiển thị bao nhiêu chữ số. Để tái hiện kết quả lịch sử 41 hay 52 chữ số của Takebe Katahiro và Matsunaga Yoshisuke, cần phải dùng số học chính xác tùy ý.

Công cụ này làm gì?

Công cụ này tính gần đúng hằng số toán học pi bằng cách cộng dồn một trong hai chuỗi lịch sử do các học giả "wasan" Nhật Bản (toán học truyền thống Nhật Bản) phát triển. Bạn có thể chọn chuỗi của Takebe Katahiro (1722) — hội tụ về giá trị pi bình phương chia chín — hoặc chuỗi của Matsunaga Yoshisuke (1739) — hội tụ về giá trị pi chia ba. Mặc dù bối cảnh lịch sử gắn liền với Nhật Bản, bản chất các chuỗi này là toán học thuần túy, mang tính phổ quát và hội tụ về pi ở bất cứ đâu.

Cách sử dụng

Chọn một công thức từ danh sách thả xuống, nhập số lượng số hạng N cần cộng (càng nhiều số hạng thì kết quả càng chính xác) và chọn số chữ số muốn hiển thị. Máy tính sẽ trả về giá trị pi gần đúng cùng với tổng thô của chuỗi, để bạn có thể kiểm chứng giá trị trung gian (\(\pi/3\) đối với Matsunaga, \(\pi^2/9\) đối với Takebe).

Giải thích công thức

Với chuỗi Matsunaga, mỗi số hạng kế tiếp được tạo ra bằng cách lấy số hạng trước nhân với (2k−1) bình phương rồi chia cho 4k nhân (4k+2); tổng lũy tiến S cho ta \(\pi = 3S\). Với chuỗi Takebe, mỗi số hạng được nhân với k bình phương rồi chia cho (2k+1)(2k+2); tổng lũy tiến cho ta \(\pi = 3\sqrt{S}\). Việc dùng các công thức truy hồi tăng dần này giúp tránh phải tính những giai thừa khổng lồ và ngăn ngừa hiện tượng tràn số.

$$\frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1^2}{4\cdot6} + \frac{1^2\cdot3^2}{4\cdot6\cdot8\cdot10} + \cdots$$$$\frac{\pi}{3} = \sum_{k=0}^{N-1} \frac{((2k-1)!!)^2}{4\cdot6\cdots(4k+2)}$$$$\frac{\pi^2}{9} = \sum_{k=0}^{N-1} \frac{(k!)^2}{3\cdot4\cdots(2k+2)}$$

Mỗi số hạng thêm vào trong chuỗi wasan đều nhỏ hơn, nên tổng riêng phần hội tụ về pi.

Ví dụ minh họa

Chuỗi Matsunaga với N = 4 số hạng:

$$1 + \frac{1}{24} + \frac{9}{1920} + \frac{225}{322560} = 1.0470517113$$

vậy pi xấp xỉ

$$3 \times 1.0470517113 = 3.1411551340$$

Với 100 số hạng, kết quả đạt độ chính xác tối đa của số thực dấu phẩy động độ chính xác kép, khoảng 3.14159265358979.

Các tổng riêng phần (1 số hạng, 2 số hạng, 3 số hạng...) tiến dần đến giá trị pi.

Câu hỏi thường gặp

Tại sao tăng số chữ số hiển thị mà độ chính xác không cải thiện? Công cụ này chạy bằng số học độ chính xác kép (double-precision), vốn chỉ giới hạn ở khoảng 15–16 chữ số có nghĩa. Những thành tựu lịch sử với 41 và 52 chữ số của Takebe và Matsunaga đòi hỏi phải dùng số học chính xác tùy ý (BigDecimal).

Nếu tôi nhập 1 số hạng thì sao? Chuỗi chỉ trả về số hạng đầu tiên là 1, nên cả hai công thức đều cho pi xấp xỉ 3.

Chuỗi nào hội tụ nhanh hơn? Cả hai đều hội tụ đều đặn; trên thực tế, vài trăm số hạng là đủ để chạm tới giới hạn của độ chính xác kép.