什麼是指數迴歸？
指數迴歸會將形如 y = A·Bx 的曲線擬合到一組成對的觀測資料。每當某個數量隨著 x 每增加一個單位，便以大致固定的倍率成長或衰減時，它就是最合適的分析工具——例如人口成長、複利、放射性衰變、細菌培養以及許多自然現象都屬於這一類。這是一項通用的統計工具，不受任何地區法規限制。
使用方法
請以 x,y 的格式，每行輸入一組資料。至少需要兩個資料點，x 值不可全部相同，且每個 y 值都必須為正數（此方法會對 y 取自然對數）。接著選擇顯示的小數位數，就能讀取 A、B 與相關係數 r。
公式說明
這個模型本身是非線性的，但只要取對數就能化為線性：ln(y) = ln(A) + x·ln(B)。因此我們對轉換後的點 (xi, ln yi) 進行普通最小平方法的直線擬合。令 x̄ 為 x 的平均值、meanLnY 為 ln y 的平均值，定義 Sxx = Σ(xi−x̄)²、Syy = Σ(ln yi−meanLnY)²，以及 Sxy = Σ(xi−x̄)(ln yi−meanLnY)。則 B = exp(Sxy/Sxx)，A = exp(meanLnY − x̄·ln B)，而 r = Sxy / (√Sxx·√Syy)。
實際範例
以這些點為例：(1, 2.7)、(2, 7.4)、(3, 20.1)、(4, 54.6)、(5, 148.4)，則 n = 5，x̄ = 3，meanLnY ≈ 2.99906。Sxx = 10，Sxy ≈ 10.01167，Syy ≈ 10.02337。因此 B = exp(1.001167) ≈ 2.7215，A = exp(2.99906 − 3·1.001167) ≈ 0.9956，r ≈ 0.99999985。擬合出的模型 y ≈ 0.9956·2.7215x 與背後的 y ≈ ex 高度吻合。
解釋您的結果
指數迴歸返回三個數字 — \(A\)、\(B\) 和 \(r\) — 它們共同描述模型 \(y = A \cdot B^{\,x}\)。以下是如何閱讀每個數字。
基數 \(B\)：增長或衰減
基數 \(B\) 控制方向和每一單位 \(x\) 增加時的變化速度：
- \(B > 1\) 表示增長。 \(x\) 中的每一步將 \(y\) 乘以 \(B\)，因此曲線上升。每單位百分比變化為 \((B-1)\times100\%\)。例如，\(B = 1.08\) 對應於 每單位 \(x\) 的 8% 增長。
- \(B < 1\) 表示衰減。 每一步將 \(y\) 乘以小於 1 的數，因此曲線向零下降。相同的公式 \((B-1)\times100\%\) 給出負結果；例如，\(B = 0.85\) 是每單位 \(-15\%\) 的變化。
- \(B = 1\) 是平坦的。 無論 \(x\) 如何，\(y\) 始終等於 \(A\)（零百分比變化）。
係數 \(A\)：y 截距
\(A\) 是 \(x = 0\) 時 \(y\) 的值，因為 \(A \cdot B^{0} = A\)。它在垂直方向上固定曲線，代表起始數量、初始人口、本金或您 \(x\) 軸起點處的劑量。
相關係數 \(r\)：對數尺度上的擬合
此擬合通過取 \(z_i = \ln y_i\) 並對 \(z\) 和 \(x\) 進行普通線性迴歸來工作。因此，\(r\) 測量對數轉換數據 \(\ln(y)\) 落在直線上的程度 — 而不是原始 \(y\) 值對曲線的擬合程度。接近 \(+1\) 或 \(-1\) 的 \(r\) 值表示強指數關係；符號與方向匹配（增長為正，衰減為負）。
使用 \(|r|\) 的標準相關解釋範圍：
- 0.9 – 1.0：非常強的擬合 — 數據密切遵循指數模型。
- 0.7 – 0.9：強擬合 — 指數是一個很好的描述，有一些散點。
- 0.5 – 0.7：適度擬合 — 存在趨勢，但其他因素也起作用。
- 0.5 以下：弱擬合 — 指數模型可能不合適。
因為 \(r\) 反映的是對數尺度上的擬合，高 \(r\) 不保證原始 \(y\) 尺度上的小誤差；大 \(y\) 值在 \(\ln\) 變換後權重較小。始終根據原始數據繪製擬合曲線作為合理性檢查。
常見問題
為什麼 y 必須為正數？擬合是建立在 ln(y) 之上，而 0 或負數的對數沒有定義。
這裡的 r 代表什麼？它是 x 與 ln(y) 之間的相關性。判讀標準如下：0.7 < |r| ≤ 1 為強相關，0.4 < |r| < 0.7 為中等相關，0.2 < |r| < 0.4 為弱相關，低於 0.2 則無相關。
如果我所有的 x 值都相同怎麼辦？此時 Sxx = 0，斜率無從定義；請至少提供兩個不同的 x 值。
