二项分布正态近似计算器 | 含连续性校正

输入计算

结果

近似概率

0.868224

正态近似（含连续性校正）

均值 (μ = np)	10
标准差 (σ)	2.2361
下界 z 分数	1.118
上界 z 分数	1.118

什么是二项分布的正态近似？

当二项试验的次数很大时，逐项计算精确的二项概率会变得相当繁琐。正态近似的做法，是用一个均值和方差都相同的连续正态分布，来代替离散的二项分布。一个参数为 $n$ 和 $p$ 的二项随机变量 $X$，其均值为 $\mu = np$，标准差为 $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$。于是，我们就可以用正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 来估算 $X$ 的累积概率。

二项分布直方图条形上叠加一条平滑的正态曲线 — 当 $n$ 较大时，正态曲线可近似离散的二项分布。

如何使用本计算器

输入试验次数 n、每次试验的成功概率 p（取值在 0 到 1 之间），选择概率类型（≤、<、≥、> 或 =），再填入数值 x。计算器会给出 $\mu$、$\sigma$、经连续性校正后的 z 分数，以及近似概率。当 $np \ge 5$ 且 $n(1-p) \ge 5$ 时，这个近似结果较为可靠。

连续性校正

由于二项分布是离散的、而正态分布是连续的，因此需要把边界向外扩大或向内收缩 0.5，这就是所谓的连续性校正。例如，$P(X \le x)$ 取 $x + 0.5$，$P(X \ge x)$ 取 $x - 0.5$，而 $P(X = x)$ 则覆盖从 $x - 0.5$ 到 $x + 0.5$ 的区间。每个校正后的边界都通过 $$z = \frac{(x \pm 0.5) - \mu}{\sigma}$$ 转换成 z 分数，再代入标准正态分布的累积分布函数（CDF）求值。

正态曲线下两侧各加宽半个单位的直方图条形 — 连续性校正：$x$ 处的离散条形在曲线下从 $x-0.5$ 延伸到 $x+0.5$。

实例演算

假设 $n = 20$，$p = 0.5$，要求 $P(X \le 12)$。那么 $\mu = 20 \times 0.5 = 10$， $$\sigma = \sqrt{20 \times 0.5 \times 0.5} = \sqrt{5} \approx 2.2361$$ 经连续性校正后， $$z = \frac{12.5 - 10}{2.2361} \approx 1.118$$ 标准正态分布的累积分布函数给出 $\Phi(1.118) \approx 0.868$，因此 $P(X \le 12) \approx 0.868$——这与精确的二项分布值非常接近。