¿Qué es la aproximación normal a la binomial?
Cuando un experimento binomial tiene un número elevado de ensayos, calcular las probabilidades binomiales exactas resulta tedioso. La aproximación normal consiste en sustituir la distribución binomial discreta por una distribución normal continua que comparte la misma media y la misma varianza. Una variable aleatoria binomial \(X\) con parámetros \(n\) y \(p\) tiene una media \(\mu = np\) y una desviación típica \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\). A partir de ahí, empleamos una distribución normal \(N(\mu, \sigma^2)\) para estimar las probabilidades acumuladas de \(X\).
Cómo usar esta calculadora
Introduce el número de ensayos n, la probabilidad de éxito en cada ensayo p (entre 0 y 1), elige el tipo de probabilidad (≤, <, ≥, > o =) y el valor x. La calculadora devuelve \(\mu\), \(\sigma\), la puntuación o puntuaciones \(z\) con corrección por continuidad y la probabilidad aproximada. La aproximación es fiable cuando se cumplen a la vez \(np \ge 5\) y \(n(1-p) \ge 5\).
La corrección por continuidad
Como la binomial es discreta pero la normal es continua, ampliamos o reducimos el límite en 0,5: es la llamada corrección por continuidad. Por ejemplo, \(P(X \le x)\) utiliza \(x + 0{,}5\); \(P(X \ge x)\) utiliza \(x - 0{,}5\); y \(P(X = x)\) abarca desde \(x - 0{,}5\) hasta \(x + 0{,}5\). Cada límite ajustado se convierte en una puntuación \(z\) mediante $$z = \frac{(x \pm 0{,}5) - \mu}{\sigma}$$ y luego se evalúa con la función de distribución acumulada (FDA) de la normal estándar.
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(n = 20\), \(p = 0{,}5\) y queremos calcular \(P(X \le 12)\). Entonces $$\mu = 20 \times 0{,}5 = 10$$ y $$\sigma = \sqrt{20 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = \sqrt{5} \approx 2{,}2361.$$ Aplicando la corrección por continuidad, $$z = \frac{12{,}5 - 10}{2{,}2361} \approx 1{,}118.$$ La FDA de la normal estándar da \(\Phi(1{,}118) \approx 0{,}868\), de modo que \(P(X \le 12) \approx 0{,}868\), un valor muy próximo al resultado binomial exacto.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo es válida la aproximación? La regla más habitual es que se cumpla \(np \ge 5\) y \(n(1-p) \ge 5\). Cuando \(p\) se aleja de 0,5, suele ser necesario un \(n\) más grande.
¿Por qué ±0,5? La corrección por continuidad de 0,5 compensa el hecho de aproximar las barras discretas con una curva suave, lo que mejora la precisión.
¿Ofrece la probabilidad exacta? No: se trata de una aproximación. Para obtener resultados exactos, utiliza una calculadora de probabilidad binomial, sobre todo cuando \(n\) es pequeño.
