Что такое нормальное приближение биномиального распределения?
Когда число испытаний в биномиальном эксперименте велико, точный расчёт биномиальных вероятностей превращается в трудоёмкую задачу. Нормальное приближение позволяет заменить дискретное биномиальное распределение непрерывным нормальным с теми же математическим ожиданием и дисперсией. Биномиальная случайная величина \(X\) с параметрами \(n\) и \(p\) имеет среднее \(\mu = np\) и стандартное отклонение \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\). Тогда для \(X\) используют нормальное распределение \(N(\mu, \sigma^2)\), чтобы оценить накопленные вероятности.
Как пользоваться калькулятором
Укажите число испытаний n, вероятность успеха в одном испытании p (от 0 до 1), выберите тип вероятности (≤, <, ≥, > или =) и значение x. Калькулятор выдаст \(\mu\), \(\sigma\), z-оценку (или две) с поправкой на непрерывность и приближённую вероятность. Приближение надёжно работает, когда одновременно \(np \ge 5\) и \(n(1-p) \ge 5\).
Поправка на непрерывность
Поскольку биномиальное распределение дискретно, а нормальное непрерывно, границу сдвигают на 0,5 в нужную сторону — это и есть поправка на непрерывность. Например, для \(P(X \le x)\) берут \(x + 0{,}5\), для \(P(X \ge x)\) — \(x - 0{,}5\), а \(P(X = x)\) охватывает интервал от \(x - 0{,}5\) до \(x + 0{,}5\). Каждую скорректированную границу переводят в z-оценку по формуле $$z = \frac{(x \pm 0{,}5) - \mu}{\sigma}$$ после чего применяют функцию распределения стандартного нормального закона.
Разбор примера
Пусть \(n = 20\), \(p = 0{,}5\), и нам нужно найти \(P(X \le 12)\). Тогда $$\mu = 20 \times 0{,}5 = 10$$ и $$\sigma = \sqrt{20 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = \sqrt{5} \approx 2{,}2361.$$ С поправкой на непрерывность получаем $$z = \frac{12{,}5 - 10}{2{,}2361} \approx 1{,}118.$$ Функция распределения стандартного нормального закона даёт \(\Phi(1{,}118) \approx 0{,}868\), поэтому \(P(X \le 12) \approx 0{,}868\) — что очень близко к точному биномиальному значению.
Частые вопросы
Когда приближение применимо? Распространённое правило: \(np \ge 5\) и \(n(1-p) \ge 5\). Если \(p\) сильно отличается от 0,5, может потребоваться большее \(n\).
Почему именно ±0,5? Поправка 0,5 компенсирует замену дискретных «столбиков» гладкой кривой и повышает точность расчёта.
Даёт ли это точную вероятность? Нет — это лишь приближение. Для точного результата используйте калькулятор биномиальной вероятности, особенно при малых \(n\).
