حاسبة زمن اللحاق (مسألة المسافرَين)

أدخل الحساب

سرعة أ

الوحدة م/ث م/دقيقة كم/ث كم/دقيقة كم/س

زمن التقدُّم (يبدأ ب متأخّرًا عن أ بهذا المقدار)

الوحدة ساعات دقائق ثوانٍ

سرعة ب

الوحدة م/ث م/دقيقة كم/ث كم/دقيقة كم/س

نتائج

زمن إدراك ب لـ أ (بعد انطلاق ب)

٢٬٤٠٠

seconds ( ٤٠ min / ٠٫٦٦٦٧ hr )

المسافة من البداية حيث يدرك ب أ	٤٬٨٠٠ m (٤٫٨ km)
الزمن الكلي منذ انطلاق أ	٣٬٦٠٠ s
تقدُّم أ لحظة انطلاق ب	١٬٦٠٠ m
سرعة الاقتراب (vB − vA)	٠٫٦٦٦٧ m/s

ماذا تفعل هذه الحاسبة

هذه هي «مسألة المسافرَين» الكلاسيكية (وهي في الحساب الياباني نسخة اللحاق من مسألة tabibito-zan)، لكنّ رياضياتها كونية تقوم على حركة السرعة النسبية. ينطلق الشخص «أ» من نقطة البداية بسرعة \(v_A\). وبعد فترة تقدُّم زمني، ينطلق الشخص «ب» من النقطة نفسها في الاتجاه نفسه بسرعة أكبر هي \(v_B\). وتحسب الأداة المدة التي يحتاجها «ب» لإدراك «أ»، والمسافة من البداية حيث يلتقيان.

ينطلق المسافر A أولًا متقدمًا بمسافة، بينما يبدأ المُطارِد B الأسرع لاحقًا من النقطة نفسها.

كيفية الاستخدام

أدخل سرعة «أ»، وزمن التقدُّم (أي كم انطلق «أ» قبل «ب»)، ثم سرعة «ب». لكل حقل قائمة منسدلة للوحدات؛ فالسرعات تدعم م/ث، م/دقيقة، كم/ث، كم/دقيقة وكم/س، بينما يدعم زمن التقدُّم الساعات والدقائق والثواني. تُحوِّل الحاسبة كل القيم إلى الوحدات الدولية (الأمتار والثواني)، ثم تحلّ المسألة، وتعرض النتائج بالثواني مع تحويلات عملية إلى الدقائق/الساعات والكيلومترات.

شرح المعادلة

عندما ينطلق «ب»، يكون «أ» قد تقدّم بمسافة قدرها \(d_0 = v_A \times t_0\). ويقلّص «ب» هذه الفجوة بسرعة الاقتراب (النسبية) \(v_B - v_A\). وعليه يكون زمن اللحاق محسوبًا من لحظة انطلاق «ب» هو

$$t = \frac{d_0}{v_B - v_A} = \frac{v_A \times t_0}{v_B - v_A}$$

أمّا مسافة اللقاء من البداية فهي \(v_B \times t\)، وتساوي أيضًا \(v_A \times (t_0 + t)\). وإذا لم يكن «ب» أسرع من «أ»، فلن يدركه أبدًا — وعندئذٍ تُبلّغك الحاسبة بذلك بدلًا من القسمة على صفر.

اعلان

في رسم بياني للمسافة مقابل الزمن، يلتقي خط المُطارِد الأكثر انحدارًا بخط المسافر عند لحظة اللحاق.

مثال محلول

يمشي «أ» بسرعة 80 م/دقيقة وينطلق أولًا. وبعد عشرين دقيقة يطارده «ب» بسرعة 120 م/دقيقة. وبالتحويل: \(v_A = 1.3333\) م/ث، \(v_B = 2.0\) م/ث، \(t_0 = 1200\) ث. مسافة التقدُّم تساوي

$$1.3333 \times 1200 = 1600 \text{ م}$$

وسرعة الاقتراب هي

$$2.0 - 1.3333 = 0.6667 \text{ م/ث}$$

فيكون زمن اللحاق

$$\frac{1600}{0.6667} = 2400 \text{ ث} = 40 \text{ دقيقة}$$

ويلتقيان على بُعد

$$2.0 \times 2400 = 4800 \text{ م} \;(4.8 \text{ كم})$$

من البداية، أي بعد 60 دقيقة من انطلاق «أ».

الأسئلة الشائعة

ماذا لو تساوت السرعتان؟ تبقى الفجوة ثابتة إلى الأبد، فلا يدرك «ب» «أ» أبدًا — لأنّ سرعة الاقتراب تساوي صفرًا.

هل يُحسب زمن اللحاق من لحظة انطلاق «أ» أم «ب»؟ يُحسب من لحظة انطلاق «ب». أمّا ناتج «الزمن الكلي منذ انطلاق أ» فيضيف زمن التقدُّم من جديد.

هل يجب أن أستخدم الوحدة نفسها للسرعتين؟ لا. يُحوَّل كل إدخال على حدة، فيمكنك المزج بين كم/س وم/دقيقة بحرّية.