À quoi sert ce calculateur
Voici le grand classique du « problème des voyageurs » (en arithmétique japonaise, c'est la variante « rattrapage » du tabibito-zan), mais les mathématiques en jeu sont universelles : il s'agit d'un mouvement à vitesse relative. La personne A quitte un point de départ à la vitesse \(v_A\). Après un certain temps d'avance, la personne B part du même point, dans la même direction, à une vitesse plus élevée \(v_B\). L'outil calcule le temps nécessaire à B pour rattraper A, ainsi que la distance par rapport au départ à laquelle ils se rejoignent.
Comment l'utiliser
Saisissez la vitesse de A, le temps d'avance (de combien A est parti avant B) et la vitesse de B. Chaque champ dispose d'un menu déroulant d'unités : les vitesses acceptent m/s, m/min, km/s, km/min et km/h, tandis que le temps d'avance s'exprime en heures, minutes ou secondes. Le calculateur convertit tout en unités SI (mètres et secondes), résout le problème, puis affiche les résultats en secondes avec des conversions pratiques en minutes/heures et en kilomètres.
La formule expliquée
Au moment où B s'élance, A possède déjà une avance correspondant à la distance \(d_0 = v_A \times t_0\). B comble cet écart à la vitesse de rapprochement (relative) \(v_B - v_A\). Le temps de rattrapage, compté à partir de l'instant où B démarre, vaut donc
$$t = \frac{d_0}{v_B - v_A} = \frac{v_A \times t_0}{v_B - v_A}$$La distance de rencontre par rapport au départ est \(v_B \times t\), ce qui équivaut aussi à \(v_A \times (t_0 + t)\). Si B n'est pas plus rapide que A, il ne pourra jamais le rattraper : le calculateur l'indique alors au lieu de diviser par zéro.
Exemple résolu
A marche à 80 m/min et part le premier. Vingt minutes plus tard, B le poursuit à 120 m/min. Conversion : \(v_A = 1{,}3333 \text{ m/s}\), \(v_B = 2{,}0 \text{ m/s}\), \(t_0 = 1200 \text{ s}\). La distance d'avance est de
$$1{,}3333 \times 1200 = 1600 \text{ m}$$La vitesse de rapprochement est de
$$2{,}0 - 1{,}3333 = 0{,}6667 \text{ m/s}$$Temps de rattrapage =
$$\frac{1600}{0{,}6667} = 2400 \text{ s} = 40 \text{ minutes}$$Ils se rejoignent à \(2{,}0 \times 2400 = 4800 \text{ m}\) (4,8 km) du départ, soit 60 minutes après le départ de A.
FAQ
Que se passe-t-il si les deux vitesses sont égales ? L'écart reste constant indéfiniment : B ne rattrape donc jamais A, car la vitesse de rapprochement est nulle.
Le temps de rattrapage est-il compté à partir de A ou de B ? Il est compté à partir de l'instant où B démarre. Le résultat « temps total depuis le départ de A » réintègre, lui, le temps d'avance.
Dois-je utiliser la même unité pour les deux vitesses ? Non. Chaque valeur est convertie indépendamment : vous pouvez donc mélanger librement km/h et m/min.
