Công cụ này dùng để làm gì?
Đây là công cụ luyện tập cho một dạng toán đố quen thuộc trong đại số: ba người có số tuổi liên hệ với nhau qua hai hiệu số tuổi và một tổng đã biết. Ví dụ: "Mai nhỏ hơn An 2 tuổi, và An lớn hơn Sơn 7 tuổi. Nếu tổng số tuổi của ba người là 75, hãy tìm tuổi mỗi người." Bạn thiết lập đề bài, giải trên giấy, nhập ba đáp án vào, rồi công cụ sẽ chấm từng câu và hiển thị toàn bộ lời giải chi tiết.
Cách sử dụng
Nhập tên ba người, hai hiệu số tuổi cùng quan hệ "nhỏ hơn/lớn hơn", và tổng số tuổi của cả ba. Sau đó nhập số tuổi bạn đoán cho từng người. Công cụ sẽ đánh dấu mỗi đáp án là đúng hay sai và trình bày phần đại số. Đây là công cụ dạy học tổng quát, không gắn với quốc gia hay đơn vị nào ngoài đơn vị năm (tuổi).
Giải thích công thức
Chọn người ở giữa (Người 2) làm ẩn số trung tâm x. Diễn đạt từng mệnh đề bằng một dấu: "lớn hơn" thì cộng hiệu số (+1), "nhỏ hơn" thì trừ hiệu số (−1). Khi đó \(P_1 = x + s_1 d_1\) và \(P_3 = x - s_2 d_2\). Cộng cả ba số tuổi lại ta được \(3x + s_1 d_1 - s_2 d_2 = S\), suy ra
$$P_2 = \dfrac{S - s_1 d_1 + s_2 d_2}{3}$$
Hai số tuổi còn lại được tính trực tiếp từ các quan hệ đã cho:
$$P_1 = P_2 + s_1 d_1,\quad P_3 = P_2 - s_2 d_2$$
Ví dụ minh họa
Với Mai nhỏ hơn An 2 tuổi (\(s_1 = -1\), \(d_1 = 2\)), An lớn hơn Sơn 7 tuổi (\(s_2 = +1\), \(d_2 = 7\)) và tổng là 75:
$$\text{An} = \dfrac{75 - (-1 \times 2) + (1 \times 7)}{3} = \dfrac{75 + 2 + 7}{3} = \dfrac{84}{3} = 28$$
Vậy \(\text{Mai} = 28 - 2 = 26\) và \(\text{Sơn} = 28 - 7 = 21\). Kiểm tra lại: \(26 + 28 + 21 = 75\).
Định nghĩa & Bảng thuật ngữ
- Người 1, Người 2, Người 3 — ba người trong bài toán đố. Người 2 được chọn làm người tham chiếu (trục); Người 1 và Người 3 mỗi người có tuổi được nêu tương đối với Người 2.
- Biến trục \(x\) (tuổi của Người 2) — ẩn số duy nhất mà bài toán được rút gọn. Khi tìm được \(x\), hai tuổi còn lại suy ra trực tiếp từ các hiệu số.
- \(d_1\), \(d_2\) (hiệu số tuổi) — hai khoảng cách đã cho tính bằng năm: \(d_1\) là bao nhiêu Người 1 khác với Người 2, và \(d_2\) là bao nhiêu Người 3 khác với Người 2. Cả hai được nhập dưới dạng số dương; hướng được mang bởi dấu hiệu.
- \(s_1\), \(s_2\) (hệ số dấu) — mỗi cái bằng \(+1\) khi người đó lớn tuổi hơn Người 2 và \(-1\) khi nhỏ tuổi hơn. Chúng chuyển đổi mối quan hệ được nói ("lớn tuổi hơn"/"nhỏ tuổi hơn") thành đại số: Người 1 \(= x + s_1 d_1\), Người 3 \(= x + s_2 d_2\).
- \(S\) (tổng tuổi) — tổng đã biết của cả ba tuổi, \(S = P_1 + P_2 + P_3\). Đó là hằng số cho phép giải được phương trình đơn lẻ.
- Công thức trục — kết hợp ba tuổi tương đối và tổng cho ta \(\,3x + s_1 d_1 + s_2 d_2 = S\,\), tức là \(\,x = \dfrac{S - s_1 d_1 - s_2 d_2}{3}\,\); sau đó mỗi tuổi được khôi phục và tổng được kiểm tra lại so với \(S\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao lại chọn Người 2 làm ẩn? Cả hai mệnh đề đều liên quan đến Người 2, nên đặt người này làm ẩn số giúp toàn bộ bài toán chỉ còn một biến duy nhất.
Nếu kết quả ra số không nguyên thì sao? Để đề bài "đẹp", hãy chọn các hiệu số và tổng sao cho \((S - s_1 d_1 + s_2 d_2)\) chia hết cho 3 và mọi số tuổi đều dương.
Công cụ chấm cả lời giải hay chỉ chấm đáp số cuối? Nó so sánh từng số tuổi bạn nhập với giá trị đúng và hiển thị toàn bộ lời giải để bạn tự đối chiếu cách lập luận.
