ما هي حاسبة قوس الظل؟
حاسبة قوس الظل (arctan أو tan⁻¹) تحسب زاوية المثلث القائم عندما تعرف طول الضلع المقابل للزاوية وطول الضلع المجاور لها. وبما أن ظل الزاوية يساوي الضلع المقابل مقسومًا على الضلع المجاور، فإن العملية العكسية — قوس الظل — تعيد لك قيمة الزاوية نفسها. وهي أداة رياضية عامة لا ترتبط ببلد معين، وتُستخدم في حساب المثلثات والهندسة والمساحة والهندسة المدنية والملاحة ورسوميات الحاسوب.
كيفية الاستخدام
أدخِل طول الضلع المقابل (الضلع الواقع في مواجهة الزاوية المطلوبة) وطول الضلع المجاور (الضلع الملاصق للزاوية، وليس الوتر). تُرجع الحاسبة قيمة الزاوية \(\theta\) بالدرجات والراديان معًا. ويمكن أن تكون الأطوال بأي وحدة قياس طالما كانت موحّدة، لأن النسبة بينها هي ما يهم فقط.
شرح المعادلة
العلاقة الأساسية هي $$\theta = \arctan\!\left(\frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}}\right)$$ تستخدم الحاسبة داخليًا دالة قوس الظل ذات الوسيطين (atan2)، ما يجعلها تتعامل بسلاسة مع الحالة التي يكون فيها الضلع المجاور صفرًا — فتعطي ٩٠° بدقة — وتُرجع الزاوية في الربع الصحيح. ثم تُحوَّل قيمة الراديان إلى درجات عبر العلاقة $$\theta° = \theta_{rad} \times \frac{180}{\pi}$$
مثال محلول
لنفترض أن منحدرًا يرتفع ٣ أمتار على امتداد أفقي مقداره ٤ أمتار. هنا يكون المقابل = ٣ والمجاور = ٤، فتكون $$\theta = \arctan\!\left(\frac{3}{4}\right) = \arctan(0.75) \approx 0.6435 \text{ راديان} \approx 36.87°$$ وبذلك يصنع المنحدر زاوية مقدارها نحو 36.87 درجة مع سطح الأرض.
المصطلحات الأساسية الموضحة
- ظل التمام العكسي (tan⁻¹)
- معكوس دالة الظل. يأخذ نسبة ويرجع الزاوية التي يساوي ظلها تلك النسبة. يُكتب كـ \(\arctan(x)\) أو \(\tan^{-1}(x)\)؛ يتراوح الناتج الرئيسي له من \(-90^\circ\) إلى \(+90^\circ\).
- الضلع المقابل
- في المثلث القائم الزاوية، الضلع المقابل مباشرة للزاوية المعنية. يشكل بسط نسبة الظل.
- الضلع المجاور
- الضلع بجانب الزاوية المعنية (بخلاف الوتر). يشكل مقام نسبة الظل.
- الوتر
- الضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية، المقابل للزاوية 90°. لا يُستخدم بواسطة ظل التمام العكسي، لكنه يظهر في جيب التمام العكسي (المقابل/الوتر) وجيب التمام العكسي (المجاور/الوتر).
- نسبة الظل
- بالنسبة لزاوية \(\theta\)، \(\tan\theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}}\). ظل التمام العكسي يعكس هذه العملية للعثور على \(\theta\).
- الراديان مقابل الدرجة
- وحدتان لقياس الزوايا. الدائرة الكاملة هي \(360^\circ\) أو \(2\pi\) راديان، لذا \(1\text{ rad} = \frac{180}{\pi} \approx 57.2958^\circ\). حول الراديان إلى درجات بالضرب في \(\frac{180}{\pi}\).
- atan2 (ظل التمام العكسي ذي المتغيرين)
- متغير، \(\operatorname{atan2}(\text{المقابل}, \text{المجاور})\)، يأخذ قيم المقابل والمجاور بشكل منفصل بدلاً من أن يأخذها كنسبة واحدة. من خلال فحص إشارات كلا المتغيرين يُرجع زوايا عبر النطاق الكامل من \(-180^\circ\) إلى \(+180^\circ\)، مما يضع الزاوية بشكل صحيح في جميع الأرباع الأربعة — وهو شيء لا يمكن لظل التمام العكسي ذي المتغير الواحد أن يفعله.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين الظل (tan) وقوس الظل (arctan)؟ دالة الظل تأخذ زاوية وتعطي نسبة، أما قوس الظل فيأخذ النسبة ويعيد لك الزاوية.
لماذا تُعرض النتيجة بالدرجات والراديان معًا؟ الدرجات شائعة في الحياة اليومية والأعمال الهندسية، بينما الراديان هو الوحدة المعيارية في الرياضيات المتقدمة والبرمجة.
ماذا لو كان الضلع المجاور = 0؟ تكون الزاوية ٩٠° بالضبط (\(\pi/2\) راديان)، لأن الضلع المقابل عندئذٍ يصبح عموديًا بالنسبة إلى قاعدة طولها صفر.
