Calculateur de probabilité d'au moins un succès sur n essais

Probabilité d'au moins un succès	65,1322%
Probabilité d'aucun succès	34,8678%
Probabilité (décimale)	0,348678 none / 0,651322 at least one

À quoi sert ce calculateur

Cet outil calcule la probabilité d'obtenir au moins un succès lorsque vous répétez n fois un même essai indépendant, chaque essai ayant une probabilité de succès p. Il s'appuie sur la règle du complément : plutôt que d'additionner les probabilités d'obtenir exactement 1, 2, 3… succès, il est bien plus simple de calculer la probabilité de zéro succès, puis de la soustraire de 1.

Comment l'utiliser

Saisissez la probabilité de succès par essai p sous forme décimale, comprise entre 0 et 1 (par exemple, 0,1 pour une chance de 10 %), puis indiquez le nombre d'essais n. Le calculateur affiche la probabilité d'au moins un succès, la probabilité d'aucun succès, ainsi que ces deux valeurs en pourcentage.

La formule expliquée

Si chaque essai échoue avec une probabilité $(1-p)$, alors les $n$ essais indépendants échouent tous avec une probabilité $(1-p)^{n}$. L'événement « au moins un succès » est exactement l'opposé de « aucun succès », d'où sa probabilité :

$$P(\geq 1) = 1 - \left(1 - p\right)^{n}$$

Cela suppose que les essais sont indépendants et que la probabilité $p$ reste constante d'un essai à l'autre.

Diagram showing the complement rule: full probability bar split into 'all failures' and 'at least one success' regions — The complement rule: 'at least one success' equals the whole probability (1) minus the chance that every trial fails.

Exemple concret

Imaginons une machine à sous qui rapporte un gain avec une probabilité $p = 0{,}1$ à chaque tour, et que vous jouez $n = 10$ fois. La probabilité de ne jamais gagner vaut $(1-0{,}1)^{10} = 0{,}9^{10} \approx 0{,}3487$. La probabilité de gagner au moins une fois est donc $1 - 0{,}3487 \approx 0{,}6513$, soit environ 65,13 %.

Curve showing probability of at least one success rising toward 1 as number of trials n increases — As the number of trials n grows, the probability of at least one success climbs and approaches 1.

Termes et variables clés

p — probabilité de succès par essai: La probabilité qu'un seul essai aboutisse à un succès, exprimée en nombre décimal entre 0 et 1 (par exemple 0,25 pour une chance de 25 %). On suppose qu'elle est la même pour chaque essai.
n — nombre d'essais: Le nombre de répétitions indépendantes effectuées. À mesure que $n$ augmente, la probabilité d'au moins un succès augmente (ou reste la même), approchant mais ne franchissant jamais exactement 1.
Essais indépendants: Essais dont les résultats ne s'influencent pas mutuellement ; le résultat d'un essai ne modifie pas la probabilité $p$ sur un autre. L'indépendance est ce qui permet la multiplication des probabilités d'échec sous la forme $(1-p)^n$.
Règle du complément: Le principe selon lequel $P(\text{événement}) = 1 - P(\text{pas d'événement})$. Ici, « au moins un succès » est le complément de « aucun succès du tout », ce qui explique pourquoi $P(\ge 1) = 1 - P(\text{aucun succès})$.
P(≥1) — probabilité d'au moins un succès: La quantité renvoyée par ce calculateur : la chance qu'un ou plusieurs des $n$ essais réussissent, donnée par $1 - (1-p)^n$.
P(aucun succès): La probabilité que chaque essai échoue, égale à $(1-p)^n$. En soustrayant cela de 1, on obtient $P(\ge 1)$.

FAQ

Pourquoi ne pas simplement additionner la probabilité de chaque essai ? Additionner les probabilités revient à compter deux fois les issues qui se chevauchent et peut donner un total supérieur à 1. La règle du complément évite totalement ce piège.

Et si p est exprimé en pourcentage ? Convertissez-le d'abord en décimale : 25 % devient 0,25.

Faut-il vraiment des essais indépendants ? Oui. Si les essais s'influencent mutuellement (tirage sans remise, probabilités qui évoluent), cette formule simple ne s'applique plus exactement.