スチューデントのt分布に基づく乱数の生成

結果

生成された乱数

7.673310319, -1.293171441, -2.407335728, -1.728523451, 0.5502841083, 0.9462756096, -0.9139670062, -0.9247928592, 0.006380432951, -0.6085566496

スチューデントのt分布に従う乱数

生成した個数	10
自由度（v）	2
標本平均	0.12999

このツールでできること

このジェネレーターは、指定した自由度（v）のスチューデントのt分布に従う擬似乱数のリストを生成します。t分布は左右対称の釣鐘型の分布で、標準正規分布よりも裾が重い（外れ値が出やすい）のが特徴です。母分散が未知の正規母集団から小標本で平均を推定する場面で自然に現れ、t検定や信頼区間の理論的な土台となっています。自由度vが大きくなるにつれて、t分布は標準正規分布$\mathcal{N}(0,1)$に収束します。本ツールは純粋に数学的なもので、地域や国による前提条件はありません。

Histogram of generated samples approximating a smooth t-distribution curve — Generated samples form a histogram that approximates the bell-shaped t-distribution.

使い方

自由度v（0より大きい任意の実数。初期値は2）と、生成したい乱数の個数（1〜1000の整数。初期値は10）を入力します。計算ボタンを押すと、t分布に従う新しい乱数のリストが返されます。内部で使われる一様乱数はランダムなため、実行するたびに異なる値が得られますが、いずれも同じt分布に従っています。

計算式の解説

確率密度関数は $f(x,v) = (1 + x^{2}/v)^{-(v+1)/2}$ を、$\sqrt{v}$ と $B(1/2,\, v/2)$ の積で割ったものです（Bはベータ関数）。効率的にサンプリングするため、古典的な表現を用います。すなわち、標準正規分布から Z を、自由度vのカイ二乗分布から C を引き、 $$T = Z \cdot \sqrt{\dfrac{v}{C}}$$ とすると、これがちょうどt分布に従います。内部的には Z をボックス＝ミュラー変換から、C をガンマ分布 $\text{Gamma}(v/2,\, 2)$ のサンプラー（Marsaglia-Tsang法）から生成しており、0より大きい任意の実数vで有効です。

Flowchart showing a normal sample and a chi-squared sample combined to form a t-distributed value — Each t-distributed value combines a standard normal draw Z with a chi-squared draw C scaled by the degrees of freedom.

Bell-shaped Student's t-distribution curve compared with a normal curve, showing heavier tails — The Student's t-distribution (solid) has heavier tails than the normal distribution (dashed), especially for low degrees of freedom.

計算例

$v = 2$ の場合、ある回の試行で $Z = 0.50$、カイ二乗の値 $C = 1.20$ が得られたとします。このとき $$T = 0.50 \cdot \sqrt{\dfrac{2}{1.20}} = 0.50 \cdot 1.29099 = 0.6455$$ となります。2組目の $Z = -1.10$、$C = 3.00$ では $T = -0.8982$、3組目の $Z = 0.20$、$C = 0.40$ では $T = 0.4472$ です。これら3つの値が、個数 = 3 としたときの標本の例です。