Bu araç ne işe yarar?
Bu üreteç, seçtiğiniz serbestlik derecesine (\(v\)) sahip bir Student t dağılımından çekilen sözde rastgele sayıların bir listesini üretir. t dağılımı, çan biçimli ve simetrik bir dağılımdır; ancak standart normal dağılıma kıyasla kuyrukları daha kalındır. Varyansı bilinmeyen, normal dağılan bir kütlenin ortalamasını küçük bir örneklemden tahmin ederken doğal olarak ortaya çıkar ve t testinin ile güven aralıklarının temelini oluşturur. \(v\) büyüdükçe t dağılımı standart normal \(\mathcal{N}(0,1)\) dağılımına yakınsar. Bu, herhangi bir bölgesel varsayım içermeyen, tamamen matematiksel bir araçtır.
Nasıl kullanılır?
Serbestlik derecesi \(v\) değerini (0'dan büyük herhangi bir reel sayı; varsayılan 2) ve istediğiniz rastgele değer adedini (1 ile 1000 arasında bir tam sayı; varsayılan 10) girin. Hesapla düğmesine bastığınızda t dağılımlı yeni bir değer listesi karşınıza çıkar. Alttaki düzgün (uniform) dağılımlı çekimler rastgele olduğundan, her çalıştırmada farklı sayılar elde edersiniz; ancak bu sayılar her zaman aynı hedef dağılımı izler.
Formülün açıklaması
Yoğunluk fonksiyonu \(f(x,v) = \dfrac{(1 + x^{2}/v)^{-(v+1)/2}}{\sqrt{v}\,B(1/2,\, v/2)}\) ifadesinin \(\sqrt{v}\) ile \(B(1/2, v/2)\) çarpımına bölünmesiyle elde edilir; burada \(B\) Beta fonksiyonudur. Verimli örnekleme için klasik gösterimi kullanırız: standart normalden bir \(Z\), \(v\) serbestlik dereceli ki-kare dağılımından bir \(C\) çekilir; ardından $$T = Z \cdot \sqrt{\frac{v}{C}}$$ tam olarak t dağılımlı olur. Dahili olarak \(Z\), Box-Muller dönüşümüyle; \(C\) ise \(\text{Gamma}(v/2, 2)\) örnekleyicisiyle (Marsaglia-Tsang) üretilir ve bu yöntem 0'dan büyük her reel \(v\) için geçerlidir.
Çözümlü örnek
\(v = 2\) alalım ve bir çalıştırmanın \(Z = 0{,}50\) ile ki-kare çekimi \(C = 1{,}20\) verdiğini varsayalım. Bu durumda $$T = 0{,}50 \cdot \sqrt{\frac{2}{1{,}20}} = 0{,}50 \cdot 1{,}29099 = 0{,}6455$$ olur. İkinci bir çift olan \(Z = -1{,}10\), \(C = 3{,}00\) değerleri \(T = -0{,}8982\) sonucunu; üçüncü çift \(Z = 0{,}20\), \(C = 0{,}40\) ise \(T = 0{,}4472\) sonucunu verir. Bu üç değer, adet = 3 için bir örneklemi gösterir.
Sıkça sorulan sorular
Bazı değerler neden çok büyük çıkıyor? \(v \le 1\) olduğunda ortalama tanımsızdır, \(v \le 2\) olduğunda ise varyans sonsuzdur; dolayısıyla büyük mutlak değerli çekimler bir hata değil, beklenen bir durumdur.
Sonuçlar her çalıştırmada neden değişiyor? Her çekim yeni düzgün rastgele sayılar kullanır; bu nedenle liste her seferinde farklı olur ama yine de t dağılımını izler.
v çok büyükse ne olur? Dağılım neredeyse standart normal \(\mathcal{N}(0,1)\) dağılımıyla aynı şekilde davranır.
