이 도구의 기능
이 생성기는 지정한 자유도(v)를 갖는 스튜던트 t-분포에서 추출한 의사난수 목록을 만들어 줍니다. t-분포는 좌우 대칭의 종 모양 분포로, 표준정규분포보다 꼬리가 두꺼운 것이 특징입니다. 분산을 모르는 정규모집단에서 작은 표본으로 평균을 추정할 때 자연스럽게 등장하며, t-검정과 신뢰구간의 이론적 토대가 됩니다. 자유도 \(v\)가 커질수록 t-분포는 표준정규분포 \(\mathcal{N}(0,1)\)에 수렴합니다. 이 도구는 특정 국가나 지역에 종속되지 않은 순수 수학 계산 도구입니다.
사용 방법
자유도 \(v\)(0보다 큰 임의의 실수, 기본값은 2)와 생성할 난수의 개수(1부터 1000까지의 정수, 기본값은 10)를 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 t-분포를 따르는 새로운 난수 목록이 나타납니다. 기반이 되는 균등난수가 매번 무작위로 생성되므로 실행할 때마다 다른 값이 나오지만, 그 값들은 언제나 동일한 목표 분포를 따릅니다.
공식 설명
밀도함수는 $$f(x,v) = \frac{\left(1 + x^{2}/v\right)^{-(v+1)/2}}{\sqrt{v}\cdot B\!\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{v}{2}\right)}$$ 이며, 여기서 \(B\)는 베타 함수입니다. 효율적으로 표본을 추출하기 위해 다음의 고전적인 표현을 사용합니다. 표준정규분포에서 \(Z\)를, 자유도 \(v\)의 카이제곱분포에서 \(C\)를 뽑은 뒤 $$T = Z \cdot \sqrt{\frac{v}{C}}$$ 를 계산하면 이 값이 정확히 t-분포를 따릅니다. 내부적으로 \(Z\)는 박스-뮬러(Box-Muller) 변환으로, \(C\)는 감마\((v/2, 2)\) 샘플러(마살리아-창, Marsaglia-Tsang)로 생성하며, 이 방법은 0보다 큰 임의의 실수 \(v\)에 대해 유효합니다.
계산 예시
\(v = 2\)일 때, 한 번의 실행에서 \(Z = 0.50\), 카이제곱 추출값 \(C = 1.20\)이 나왔다고 합시다. 그러면 $$T = 0.50 \cdot \sqrt{\frac{2}{1.20}} = 0.50 \cdot 1.29099 = 0.6455$$ 가 됩니다. 두 번째 쌍 \(Z = -1.10\), \(C = 3.00\)에서는 \(T = -0.8982\), 세 번째 \(Z = 0.20\), \(C = 0.40\)에서는 \(T = 0.4472\)가 나옵니다. 이 세 값은 개수 = 3인 표본의 예를 보여 줍니다.
자주 묻는 질문
왜 어떤 값은 유난히 큰가요? \(v \le 1\)일 때는 평균이 정의되지 않고, \(v \le 2\)일 때는 분산이 무한대이므로 절댓값이 큰 값이 나오는 것은 오류가 아니라 자연스러운 현상입니다.
왜 실행할 때마다 결과가 달라지나요? 매 추출마다 새로운 균등난수를 사용하기 때문에 목록은 매번 달라지지만, 여전히 t-분포를 따릅니다.
v가 아주 크면 어떻게 되나요? 분포가 표준정규분포 \(\mathcal{N}(0,1)\)과 거의 동일하게 동작합니다.
