学生t分布随机数生成器

结果

生成的随机数值

-0.5315125993, -0.1326497085, 0.2612494418, -1.701865268, -0.08747742741, 2.413054286, -0.5136280706, 4.707359133, -1.101532226, -1.078634564

学生 t 分布抽样结果

已生成数量	10
自由度 (v)	2
样本均值	0.223436

这个工具能做什么

本生成器会根据你设定的自由度（v），从学生 t 分布中抽取一组伪随机数。t 分布是一种钟形、对称的分布，但相比标准正态分布，它的尾部更"厚"。当我们要从一个方差未知的正态总体中、用小样本去估计均值时，t 分布会自然出现，它也是 t 检验和置信区间的理论基础。随着自由度 v 不断增大，t 分布会逐渐逼近标准正态分布 $\mathcal{N}(0,1)$。这是一个纯数学工具，不涉及任何地区性假设。

Histogram of generated samples approximating a smooth t-distribution curve — Generated samples form a histogram that approximates the bell-shaped t-distribution.

使用方法

输入自由度 v（任意大于 0 的实数，默认值为 2），以及你想要生成的随机数个数（1 到 1000 之间的整数，默认值为 10）。点击计算，工具就会返回一组全新的 t 分布随机数。由于底层使用的是随机均匀抽样，每次运行得到的数值都不相同，但它们始终服从同一个目标分布。

公式详解

该分布的概率密度函数为 $ f(x,v) = (1 + x^{2}/v)^{-(v+1)/2} $，再除以 $ \sqrt{v} $ 乘以 $ B(1/2,\, v/2) $，其中 $ B $ 表示 Beta 函数。为了高效地抽样，我们采用经典的构造方法：先从标准正态分布中抽取 Z，再从自由度为 v 的卡方分布中抽取 C，那么 $$ T = Z \cdot \sqrt{\frac{v}{C}} $$ 就恰好服从 t 分布。在内部实现中，Z 由 Box-Muller 变换得到，C 由 $ \text{Gamma}(v/2,\, 2) $ 抽样器（Marsaglia-Tsang 算法）生成，对任意实数 $ v > 0 $ 均成立。

Flowchart showing a normal sample and a chi-squared sample combined to form a t-distributed value — Each t-distributed value combines a standard normal draw Z with a chi-squared draw C scaled by the degrees of freedom.

Bell-shaped Student's t-distribution curve compared with a normal curve, showing heavier tails — The Student's t-distribution (solid) has heavier tails than the normal distribution (dashed), especially for low degrees of freedom.

实例演算

取 $ v = 2 $，假设某次运行得到 $ Z = 0.50 $，卡方抽样值 $ C = 1.20 $。那么 $$ T = 0.50 \cdot \sqrt{\frac{2}{1.20}} = 0.50 \cdot 1.29099 = 0.6455 $$ 第二组 $ Z = -1.10 $、$ C = 3.00 $ 得到 $ T = -0.8982 $；第三组 $ Z = 0.20 $、$ C = 0.40 $ 得到 $ T = 0.4472 $。这三个数值正好演示了 $ \text{count} = 3 $ 时的一份样本。