Bu araç ne işe yarar?
Bu üreteç, sizin belirlediğiniz ortalama ve standart sapma ile normal (Gauss) dağılıma uyan sözde rastgele sayılardan oluşan bir liste üretir. Bunun için, düzgün (uniform) dağılımlı rastgele sayıları normal dağılımlı sayılara dönüştüren basit ve kesin bir yöntem olan klasik Box-Muller dönüşümünü kullanır. Aracın asıl çıktısı, her biri N(μ, σ²) dağılımından çekilmiş, virgülle ayrılmış değerlerden oluşan bir listedir.
Nasıl kullanılır?
Dağılımın merkezi olan ortalamayı (μ) ve değerlerin ne kadar yayılacağını belirleyen standart sapmayı (σ) girin. Kaç sayı üretmek istediğinizi (1 ile 1000 arası) belirleyin ve görüntüleme hassasiyetini anlamlı basamak sayısı olarak seçin. Her çalıştırma rastlantısaldır; bu nedenle her seferinde gönder düğmesine bastığınızda yepyeni bir sayı kümesi elde edersiniz.
Formülün açıklaması
Açık aralıkta (0,1) yer alan, birbirinden bağımsız iki düzgün dağılımlı sayı U1 ve U2 çekin. Box-Muller dönüşümü bunları birbirinden bağımsız iki standart normal değişkene dönüştürür: Z1 = √(−2·ln U1)·cos(2πU2) ve Z2 = √(−2·ln U1)·sin(2πU2). Dolayısıyla her geçişte aynı anda iki normal değer elde edilir. Her standart normal değeri X = μ + σ·Z ile yeniden ölçeklendiririz. ln(0) = −∞ durumundan kaçınmak için U1'in tam olarak sıfır olmaması güvence altına alınır.
Çözümlü örnek
μ = 100, σ = 15 olsun ve U1 = 0,5, U2 = 0,25 olduğunu varsayalım. O zaman √(−2·ln 0,5) = √1,386294 = 1,177410 olur. cos(π/2) = 0 ve sin(π/2) = 1 olduğundan Z1 = 0 ve Z2 = 1,177410 elde ederiz. Buradan X1 = 100 + 15·0 = 100 ve X2 = 100 + 15·1,177410 = 117,66115 bulunur. Çok sayıda çift üretildiğinde, kümenin örneklem ortalaması 100'e, örneklem standart sapması da 15'e yaklaşır.
68-95-99,7 Kuralı (Ampirik Kural)
Herhangi bir normal dağılım \(N(\mu, \sigma^2)\) için, değerlerin belirli bir oranı ortalamanın sabit sayıda standart sapması içinde yer alır. Bu ampirik kuraldır ve oluşturduğunuz sayılar için yararlı bir mantık kontrolüdür: yeterince büyük bir örnek ile, aşağıdaki oranlar otomatik olarak ortaya çıkmalıdır.
| Aralık | Değer aralığı | İçerideki oran | Kuyruk kısmındaki oran |
|---|---|---|---|
| \(\pm 1\sigma\) | \(\mu - \sigma\) ila \(\mu + \sigma\) | 68,27% | 31,73% |
| \(\pm 2\sigma\) | \(\mu - 2\sigma\) ila \(\mu + 2\sigma\) | 95,45% | 4,55% |
| \(\pm 3\sigma\) | \(\mu - 3\sigma\) ila \(\mu + 3\sigma\) | 99,73% | 0,27% |
Örnek: \(\mu = 100\) ve \(\sigma = 15\) ile sayılar oluşturursanız, değerlerin yaklaşık %68'i 85 ile 115 arasında, yaklaşık %95'i 70 ile 130 arasında, yaklaşık %99,7'si 55 ile 145 arasında yer almalıdır. \(\pm 3\sigma\) dışındaki değerler (burada 55'in altında veya 145'in üstünde) 1.000 çekilişin yaklaşık 3'inde beklenmektedir.
Oluşturduğunuz Sayıları Yorumlama
Box-Muller dönüşümü, seçtiğiniz ortalama \(\mu\) etrafında merkezlenmiş ve standart sapmanız \(\sigma\) tarafından belirlenen yayılıma sahip normal (Gaussian) dağılımı izleyen değerleri üretir. Bunları aşağıdaki gerçekleri göz önüne alarak okuyun:
- Çoğu değer ortalamanın yakınında kümelenir. Çan şekli \(\mu\) noktasında en yoğundur, bu nedenle tipik bir çekiliş \(\mu\)'ya yakındır; değerlerin yaklaşık üçte ikisi bir \(\sigma\) içindedir.
- Aşırı değerler nadirdir ancak mümkündür. Kuyruk kısmında çok uzak bir değer (örneğin \(3\sigma\) ötesi) olağandışıdır, imkânsız değildir — zamanın yaklaşık %0,27'sinde oluşur. Arada bir aykırı değer görmek normal davranıştır, hata değildir.
- Örnek istatistikleri \(n\) arttıkça yakınsanır. Küçük bir sayım için örnek ortalaması ve örnek standart sapması şans eseri \(\mu\) ve \(\sigma\)'dan belirgin şekilde farklı olabilir.
countdeğerini artırdıkça, örnek ortalaması \(\mu\)'ya ve örnek standart sapması \(\sigma\)'ya yaklaşır (büyük sayılar yasası). Bir grubu bir Örnek Ortalaması Hesaplayıcısına veya bir Popülasyon Standart Sapması Hesaplayıcısına yapıştırarak değerlerin hedeflerinize doğru kaydığını doğrulayabilirsiniz. - Bu simülasyon ve test içindir. Bunlar Monte Carlo deneyleri, yük/stres testi, öğretim ve modelleme için tasarlanmış yarı-rasgele çekiliştirdir — herhangi bir gerçek dünyadaki miktarın fiili ölçümleri değildir. Sayılar belirttiğiniz dağılımın ötesinde hiçbir ampirik anlam taşımaz.
Tanımlar ve Sözlük
- Ortalama (\(\mu\))
- Dağılımın merkezi veya beklenen değeri — oluşturulan değerlerin dengelendiği ortalama.
- Standart sapma (\(\sigma\))
- Verilerle aynı birimlerdeki yayılmanın bir ölçüsü. Daha büyük \(\sigma\) değerlerin ortalamanın ötesinde daha geniş şekilde dağılmasını sağlar.
- Varyans (\(\sigma^2\))
- Standart sapmanın karesi, \(\sigma^2\). Yayılmayı kare cinsinden nicelendirir ve dağılım gösterimi \(N(\mu, \sigma^2)\)'de görünen parametredir.
- Standart normal, \(N(0,1)\)
- \(\mu = 0\) ve standart sapma 1 olan özel normal dağılım. Ondan çekilen herhangi bir \(Z\) değeri \(X = \mu + \sigma Z\) aracılığıyla dağılımınıza dönüştürülür.
- Tekdüze dağılım
- Bir aralıktaki (burada \((0,1)\)) her değerin eşit olasılıkta olduğu dağılım. Box-Muller yöntemi iki bağımsız tekdüze çekiliş \(U_1\) ve \(U_2\)'den başlar.
- Z-puanı
- Bir değerin ortalamanın ötesinde yer aldığı işaretli standart sapma sayısı, \(Z = (X - \mu)/\sigma\). Z-puanı 0 tam olarak ortalamanın yer aldığı; \(\pm 2\) merkezi %95,45'in sınırını işaretler.
- Yarı-rasgele
- Rastgelelik istatistiksel özellikleriyle dizileri üreten belirleyici bir algoritma tarafından oluşturulan. Çıktı rasgele görünür ve istatistiksel testleri geçer ancak aynı tohumdan tamamen yeniden üretilebilir.
- Box-Muller dönüşümü
- \(Z = \sqrt{-2\ln U_1}\,\cos(2\pi U_2)\) kullanarak iki bağımsız tekdüze rasgele sayı \(U_1, U_2\) dönüştürüp standart normal değer elde eden ve ardından istenen ortalama ve standart sapmaya kaydırıp ölçeklendiren bir yöntem.
Sıkça sorulan sorular
Sayılar neden her seferinde değişiyor? Üreteç, sabit bir tohum (seed) kullanmadan her defasında yeni düzgün dağılımlı değerler çeker; dolayısıyla çıktının rastgele olması tasarımın gereğidir.
σ = 0 yaparsam ne olur? Dağılım dejenere hale gelir ve üretilen her değer ortalamaya eşit olur.
Örneklem ortalamam neden tam olarak μ değerine eşit çıkmıyor? Rastgele örnekleme bir örnekleme hatasına yol açar; ne kadar çok sayı üretirseniz, örneklem ortalaması ve standart sapması μ ve σ değerlerine o kadar yaklaşır.
