Công cụ này làm gì
Công cụ này tạo ra một danh sách các số giả ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn (phân phối Gauss) với giá trị trung bình và độ lệch chuẩn do bạn tự chọn. Nó sử dụng phép biến đổi Box-Muller kinh điển — một phương pháp đơn giản và chính xác để chuyển các số ngẫu nhiên phân phối đều thành các số ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Kết quả chính bạn nhận được là một dãy giá trị ngăn cách bằng dấu phẩy, mỗi giá trị được lấy từ phân phối N(μ, σ²).
Cách sử dụng
Nhập giá trị trung bình (μ) — tâm của phân phối — và độ lệch chuẩn (σ) — mức độ phân tán của các giá trị. Chọn số lượng số bạn muốn tạo (từ 1 đến 1000) và độ chính xác hiển thị tính theo số chữ số có nghĩa. Mỗi lần chạy đều mang tính ngẫu nhiên, nên bạn sẽ nhận được một bộ số hoàn toàn mới sau mỗi lần bấm tạo.
Giải thích công thức
Lấy hai số ngẫu nhiên phân phối đều độc lập U1 và U2 trên khoảng mở (0,1). Phép biến đổi Box-Muller chuyển chúng thành hai biến ngẫu nhiên chuẩn tắc độc lập: Z1 = √(−2·ln U1)·cos(2πU2) và Z2 = √(−2·ln U1)·sin(2πU2). Như vậy mỗi lượt tính cho ra cùng lúc hai số chuẩn tắc. Sau đó ta chuyển mỗi biến chuẩn tắc về thang đo mong muốn bằng công thức X = μ + σ·Z. Để tránh trường hợp ln(0) = −∞, giá trị U1 luôn được đảm bảo không bao giờ đúng bằng 0.
Ví dụ minh họa
Giả sử μ = 100, σ = 15, và U1 = 0,5, U2 = 0,25. Khi đó √(−2·ln 0,5) = √1,386294 = 1,177410. Với cos(π/2) = 0 và sin(π/2) = 1, ta được Z1 = 0 và Z2 = 1,177410. Suy ra X1 = 100 + 15·0 = 100 và X2 = 100 + 15·1,177410 = 117,66115. Qua nhiều cặp như vậy, trung bình mẫu của tập sẽ dần tiến về 100 và độ lệch chuẩn mẫu sẽ dần tiến về 15.
Quy tắc 68-95-99.7 (Quy tắc thực nghiệm)
Đối với bất kỳ phân phối chuẩn nào \(N(\mu, \sigma^2)\), một tỷ lệ có thể dự đoán được của các giá trị nằm trong một số lượng độ lệch chuẩn cố định so với giá trị trung bình. Đây là quy tắc thực nghiệm, và nó là một kiểm tra hợp lý hữu ích cho các số bạn tạo ra: với một mẫu đủ lớn, các tỷ lệ dưới đây sẽ xuất hiện tự động.
| Khoảng | Phạm vi giá trị | Tỷ lệ bên trong | Tỷ lệ ở đuôi |
|---|---|---|---|
| \(\pm 1\sigma\) | \(\mu - \sigma\) đến \(\mu + \sigma\) | 68,27% | 31,73% |
| \(\pm 2\sigma\) | \(\mu - 2\sigma\) đến \(\mu + 2\sigma\) | 95,45% | 4,55% |
| \(\pm 3\sigma\) | \(\mu - 3\sigma\) đến \(\mu + 3\sigma\) | 99,73% | 0,27% |
Ví dụ: nếu bạn tạo các số có \(\mu = 100\) và \(\sigma = 15\), thì khoảng 68% giá trị sẽ nằm trong khoảng từ 85 đến 115, khoảng 95% trong khoảng từ 70 đến 130, và khoảng 99,7% trong khoảng từ 55 đến 145. Các giá trị ngoài \(\pm 3\sigma\) (dưới 55 hoặc trên 145 ở đây) chỉ dự kiến khoảng 3 lần trong 1.000 lần rút thăm.
Diễn giải các số bạn tạo ra
Phép biến đổi Box-Muller tạo ra các giá trị theo phân phối chuẩn (Gauss) có tâm tại giá trị trung bình \(\mu\) mà bạn chọn với độ trải rộng được đặt bởi độ lệch chuẩn \(\sigma\) của bạn. Hãy đọc chúng với những sự kiện này trong tâm trí:
- Hầu hết các giá trị tập trung gần giá trị trung bình. Hình chuông dày đặc nhất tại \(\mu\), vì vậy một lần rút thăm điển hình gần với \(\mu\); khoảng hai phần ba giá trị nằm trong một \(\sigma\) của nó.
- Các giá trị cực đoan rất hiếm nhưng có thể xảy ra. Một giá trị xa trong một đuôi (chẳng hạn như ngoài \(3\sigma\)) là không bình thường, không phải là không thể — nó xảy ra khoảng 0,27% thời gian. Thỉnh thoảng nhìn thấy một ngoại lệ là hành vi bình thường, không phải một lỗi.
- Thống kê mẫu hội tụ khi \(n\) tăng. Đối với một số lượng nhỏ, giá trị trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu có thể khác biệt đáng chú ý với \(\mu\) và \(\sigma\) do may mắn. Khi bạn tăng
count, giá trị trung bình mẫu tiến đến \(\mu\) và độ lệch chuẩn mẫu tiến đến \(\sigma\) (luật số lớn). Bạn có thể dán một lô vào một Máy tính giá trị trung bình mẫu hoặc một Máy tính độ lệch chuẩn dân số để xác nhận các giá trị trôi về phía các mục tiêu của bạn. - Điều này dành cho mô phỏng và thử nghiệm. Đây là những lần rút thăm ngẫu nhiên giả dự định cho các thí nghiệm Monte Carlo, thử nghiệm tải/tác động, giảng dạy và lập mô hình — không phải là các phép đo thực tế của bất kỳ đại lượng nào trong thế giới thực. Các số không mang ý nghĩa thực nghiệm ngoài phân phối bạn đã chỉ định.
Các định nghĩa & Bảng thuật ngữ
- Giá trị trung bình (\(\mu\))
- Trung tâm, hoặc giá trị kỳ vọng, của phân phối — mức trung bình xung quanh đó các giá trị được tạo ra được cân bằng.
- Độ lệch chuẩn (\(\sigma\))
- Một thước đo sự trải rộng trong cùng các đơn vị như dữ liệu. Giá trị \(\sigma\) lớn hơn tạo ra các giá trị phân tán rộng hơn từ giá trị trung bình.
- Phương sai (\(\sigma^2\))
- Bình phương của độ lệch chuẩn, \(\sigma^2\). Nó định lượng sự trải rộng trong các đơn vị bình phương và là tham số xuất hiện trong ký hiệu phân phối \(N(\mu, \sigma^2)\).
- Phân phối chuẩn tiêu chuẩn, \(N(0,1)\)
- Phân phối chuẩn đặc biệt với giá trị trung bình 0 và độ lệch chuẩn 1. Bất kỳ giá trị \(Z\) được rút ra từ nó đều được điều chỉnh tỷ lệ thành phân phối của bạn thông qua \(X = \mu + \sigma Z\).
- Phân phối đều
- Một phân phối mà mỗi giá trị trong một khoảng (ở đây, \((0,1)\)) đều có khả năng như nhau. Phương pháp Box-Muller bắt đầu từ hai lần rút thăm đều độc lập \(U_1\) và \(U_2\).
- Điểm Z
- Số có dấu của độ lệch chuẩn mà một giá trị nằm từ giá trị trung bình, \(Z = (X - \mu)/\sigma\). Một điểm Z bằng 0 nằm chính xác tại giá trị trung bình; \(\pm 2\) đánh dấu cạnh của trung tâm 95,45%.
- Ngẫu nhiên giả
- Được tạo ra bởi một thuật toán xác định tạo ra các chuỗi với các thuộc tính thống kê của tính ngẫu nhiên. Kết quả đầu ra trông ngẫu nhiên và vượt qua các bài kiểm tra thống kê nhưng có thể lặp lại hoàn toàn từ cùng một hạt giống.
- Phép biến đổi Box-Muller
- Một phương pháp chuyển đổi hai số ngẫu nhiên đều độc lập \(U_1, U_2\) thành một giá trị chuẩn tiêu chuẩn bằng cách sử dụng \(Z = \sqrt{-2\ln U_1}\,\cos(2\pi U_2)\), sau đó được chuyển và mở rộng thành giá trị trung bình và độ lệch chuẩn được yêu cầu.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao mỗi lần các số lại khác nhau? Công cụ lấy các số phân phối đều mới mỗi lần, không cố định seed, nên kết quả vốn dĩ là ngẫu nhiên.
Nếu tôi đặt σ = 0 thì sao? Phân phối trở nên suy biến và mọi giá trị tạo ra đều bằng đúng giá trị trung bình.
Vì sao trung bình mẫu của tôi không khớp chính xác với μ? Việc lấy mẫu ngẫu nhiên luôn tạo ra sai số lấy mẫu; bạn càng tạo nhiều số thì trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu càng tiến gần đến μ và σ.
