Công cụ này làm gì?
Công cụ tạo ra một danh sách các số giả ngẫu nhiên tuân theo phân phối log-chuẩn. Một biến ngẫu nhiên X được gọi là log-chuẩn khi logarit tự nhiên của nó, \(\ln(X)\), tuân theo phân phối chuẩn. Trước tiên, trình tạo sinh ra các biến chuẩn tắc bằng phép biến đổi Box-Muller kinh điển, sau đó co giãn chúng về phân phối chuẩn mục tiêu \(N(\mu, \sigma^2)\), rồi lấy lũy thừa cơ số e để thu được các giá trị log-chuẩn luôn dương.
Lưu ý quan trọng: mu và sigma có ý nghĩa gì?
Hai tham số \(\mu\) và \(\sigma\) mô tả phân phối chuẩn nền của \(\ln(X)\) — chúng không phải là giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của chính X. Trung bình thực sự của X là \(\exp(\mu + \sigma^2/2)\), trung vị là \(\exp(\mu)\), và phương sai là \((\exp(\sigma^2) - 1)\cdot\exp(2\mu + \sigma^2)\). Các giá trị tham chiếu này được hiển thị ngay bên cạnh mẫu kết quả để bạn dễ dàng đối chiếu, kiểm tra tính hợp lý của đầu ra.
Cách sử dụng
Nhập \(\mu\) (số thực bất kỳ), \(\sigma\) (bằng 0 hoặc dương), và số lượng số bạn muốn tạo (từ 1 đến 1000). Chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị. Mỗi lần chạy, công cụ rút ra các số ngẫu nhiên đều mới, vì vậy kết quả sẽ thay đổi liên tục. Do phương pháp Box-Muller cho ra hai biến chuẩn từ mỗi cặp số đều, nên nếu bạn nhập số lượng lẻ thì một biến dư sẽ đơn giản bị loại bỏ.
Giải thích công thức
Với các số đều \(U_1, U_2\) trong khoảng \((0,1]\):
$$Z = \sqrt{-2\ln U_1}\,\cos(2\pi U_2)$$cho ta \(Z \sim N(0,1)\). Tiếp theo, \(Y = \mu + \sigma\, Z\) tuân theo \(N(\mu, \sigma^2)\), và \(X = \exp(Y)\) chính là số log-chuẩn. Để tránh trường hợp \(\ln(0)\), chúng tôi giới hạn \(U_1\) ở một giá trị epsilon cực nhỏ.
Ví dụ minh họa
Với \(\mu = 1\), \(\sigma = 2\), lấy \(U_1 = 0.5\), \(U_2 = 0.25\). Khi đó \(R = \sqrt{-2\ln 0.5} = 1.17741\). \(Z_1 = R\cdot\cos(\pi/2) = 0\) và \(Z_2 = R\cdot\sin(\pi/2) = 1.17741\). Vậy
$$X_1 = \exp(1) = 2.71828$$và
$$X_2 = \exp(1 + 2\cdot 1.17741) = \exp(3.35482) \approx 28.64$$Trung bình lý thuyết \(\exp(3) = 20.0855\) và trung vị \(\exp(1) = 2.71828\) đều khớp với kết quả này.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao mỗi lần chạy lại cho giá trị khác nhau? Đây là trình tạo ngẫu nhiên dựa trên Math.random(); vì không cố định hạt giống (seed) nên mỗi lần chạy đều cho kết quả khác.
Nếu sigma = 0 thì sao? Phân phối trở nên suy biến và mọi giá trị đều bằng \(\exp(\mu)\).
Giá trị có thể âm không? Không — miền giá trị của phân phối log-chuẩn là \((0, \infty)\), nên tất cả kết quả đều dương tuyệt đối.
