Số Biot là gì?
Số Biot (Bi) là một đại lượng không thứ nguyên thường dùng trong bài toán dẫn nhiệt không ổn định. Nó so sánh giữa trở kháng truyền nhiệt bên trong vật thể (dẫn nhiệt) với trở kháng truyền nhiệt tại bề mặt (đối lưu). Khi số Biot nhỏ, vật thể dẫn nhiệt bên trong nhanh hơn nhiều so với tốc độ trao đổi nhiệt với môi trường xung quanh, nên nhiệt độ của nó gần như đồng đều trong suốt quá trình đốt nóng hay làm nguội.
Cách sử dụng máy tính
Bạn chỉ cần nhập ba giá trị: hệ số truyền nhiệt đối lưu h (W/m²·K), chiều dài đặc trưng Lc (m) và độ dẫn nhiệt k (W/m·K) của vật rắn. Máy tính sẽ cho ra kết quả \( \text{Bi} = \frac{\text{h} \cdot \text{L}_c}{\text{k}} \) và đồng thời cho biết liệu mô hình tụ nhiệt tập trung (lumped-capacitance) phổ biến có áp dụng được hay không.
Giải thích công thức
Công thức cơ bản là
$$\text{Bi} = \frac{\text{h} \cdot \text{L}_c}{\text{k}}$$Chiều dài đặc trưng Lc thường được lấy bằng thể tích chia cho diện tích bề mặt (V/A): với một tấm phẳng dày L được làm nguội ở một mặt thì \( \text{L}_c = \text{L} \); với hình cầu bán kính r thì \( \text{L}_c = \frac{r}{3} \); còn với một hình trụ dài thì \( \text{L}_c = \frac{r}{2} \). Khi \( \text{Bi} < 0{,}1 \), chênh lệch nhiệt độ bên trong vật là không đáng kể và bạn có thể xem cả vật như một điểm nhiệt tập trung duy nhất.
Ví dụ minh họa
Một chi tiết kim loại có h = 10 W/m²·K, Lc = 0,05 m và k = 200 W/m·K sẽ cho
$$\text{Bi} = \frac{10 \times 0{,}05}{200} = \frac{0{,}5}{200} = 0{,}0025$$Vì \( 0{,}0025 < 0{,}1 \) nên phương pháp tụ nhiệt tập trung hoàn toàn áp dụng được.
Chiều dài đặc trưng (Lc) theo Hình học
Đối với phân tích khối lượng tập trung, chiều dài đặc trưng được định nghĩa là tỷ lệ giữa thể tích của vật rắn và diện tích bề mặt tiếp xúc với đối lưu, \(L_c = V/A_s\). Sử dụng định nghĩa nhất quán này giữ cho tiêu chuẩn số Biot (\(\text{Bi}<0.1\)) có thể so sánh trực tiếp trên các hình dạng khác nhau. Một số sách giáo khoa thay vào đó sử dụng bán kính đầy đủ hoặc nửa chiều dày cho các giải pháp chuỗi một số hạng và biểu đồ Heisler; cả hai quy ước đều được trình bày dưới đây.
| Hình học | Chiều kích thước xác định | \(L_c = V/A_s\) | Quy ước chiều dài dẫn nhiệt |
|---|---|---|---|
| Tường phẳng, cả hai mặt làm mát | Độ dày \(2L\) | \(L\) | Nửa độ dày \(L\) |
| Tường phẳng / tấm, một mặt cách nhiệt | Độ dày \(L\) | \(L\) | Độ dày \(L\) |
| Hình trụ dài (bán kính \(r\)) | Bán kính \(r\) | \(r/2\) | Bán kính \(r\) |
| Hình cầu (bán kính \(r\)) | Bán kính \(r\) | \(r/3\) | Bán kính \(r\) |
| Hình lập phương (cạnh \(a\)) | Cạnh \(a\) | \(a/6\) | Nửa cạnh \(a/2\) |
Kiểm tra công việc: đối với một hình cầu có bán kính \(r=0.02\text{ m}\), \(L_c = r/3 = 0.02/3 \approx 0.00667\text{ m}\). Đối với một hình trụ dài có cùng bán kính, \(L_c = r/2 = 0.01\text{ m}\).
Diễn giải Số Biot của bạn
Số Biot so sánh lực cản dẫn nhiệt bên trong \((L_c/k)\) với lực cản đối lưu bên ngoài \((1/h)\). Nó cho bạn biết liệu một vật rắn nóng lên hay làm mát với nhiệt độ bên trong gần như đều nhất hay có gradient bên trong đáng kể.
| Phạm vi Biot | Ý nghĩa vật lý | Phân tích được khuyến cáo |
|---|---|---|
| \(\text{Bi}<0.1\) | Lực cản dẫn nhiệt bên trong là không đáng kể; nhiệt độ của vật thể về cơ bản là đều ở bất kỳ thời điểm nào. | Mô hình khối lượng tập trung hợp lệ; sử dụng phân rã hàm mũ \(\theta/\theta_0 = e^{-t/\tau}\) với \(\tau = \rho V c_p / (h A_s)\). |
| \(0.1<\text{Bi}<\sim 10\) | Tồn tại gradient nhiệt độ bên trong hữu hạn; không có lực cản nào chiếm ưu thế. | Sử dụng xấp xỉ một số hạng hoặc các giải pháp biểu đồ dẫn nhiệt quá độ Heisler cho hình học thích hợp. |
| \(\text{Bi}>\sim 10\) | Lực cản đối lưu là không đáng kể; nhiệt độ bề mặt về cơ bản bị cố định ở nhiệt độ của chất lỏng. | Được kiểm soát bởi dẫn nhiệt; coi bề mặt là điều kiện biên đẳng nhiệt \((T_s \approx T_\infty)\). |
Ngưỡng kỹ thuật được sử dụng rộng rãi \(\text{Bi}=0.1\) giữ cho lỗi mô hình khối lượng tập trung trong nhiệt độ dưới khoảng 5%. Dưới giá trị này, mô hình nút đơn đơn giản vừa tiện lợi vừa chính xác.
Các thuật ngữ chính & Biến số
- Hệ số truyền nhiệt đối lưu, \(h\) (W/m²·K)
- Tốc độ trao đổi nhiệt giữa bề mặt vật rắn và chất lỏng xung quanh trên một đơn vị diện tích trên một độ chênh lệch nhiệt độ. Lớn hơn đối với đối lưu cưỡng bức và đối với chất lỏng hơn đối với không khí tĩnh.
- Chiều dài đặc trưng, \(L_c\) (m)
- Quy mô hình học của vật rắn, được định nghĩa là \(L_c = V/A_s\) cho phân tích khối lượng tập trung. Nó đại diện cho khoảng cách điển hình mà nhiệt phải dẫn bên trong.
- Độ dẫn nhiệt của vật rắn, \(k\) (W/m·K)
- Khả năng dẫn nhiệt nội tại của vật rắn. Lưu ý rằng \(k\) trong số Biot là của thân vật rắn, không phải của chất lỏng xung quanh.
- Số Biot, \(\text{Bi}\) (không thứ nguyên)
- \(\text{Bi}=hL_c/k\); tỷ lệ giữa lực cản dẫn nhiệt bên trong và lực cản đối lưu bề mặt.
- Khối lượng tập trung
- Một lý tưởng hóa coi toàn bộ thân thể là một nút nhiệt độ đều nhất, hợp lệ khi \(\text{Bi}<0.1\).
Biot so với Nusselt: Cả hai chia sẻ dạng \(hL/k\) nhưng sử dụng \(k\) khác nhau. Số Biot sử dụng độ dẫn nhiệt của vật rắn và đánh giá lức cản bên trong so với bề mặt. Số Nusselt sử dụng độ dẫn nhiệt của chất lỏng và đánh giá truyền nhiệt đối lưu so với dẫn nhiệt trong chất lỏng, vì vậy cùng một \(h\) và \(L\) cho giá trị rất khác nhau.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao lại lấy mốc \( \text{Bi} < 0{,}1 \)? Dưới ngưỡng này, mức dao động nhiệt độ bên trong vật rắn chỉ vào khoảng dưới 5%, đủ nhỏ để có thể bỏ qua trong đa số bài toán kỹ thuật.
Số Biot khác số Nusselt ở điểm nào? Cả hai đều có dạng \( \frac{\text{h} \cdot \text{L}}{\text{k}} \), nhưng số Biot dùng độ dẫn nhiệt của vật rắn, trong khi số Nusselt dùng độ dẫn nhiệt của chất lỏng (lưu chất).
Nếu k bằng 0 thì sao? Trên thực tế không vật liệu nào có độ dẫn nhiệt bằng 0; máy tính đã được thiết kế để tránh phép chia cho 0 và sẽ trả về kết quả 0 trong trường hợp đó.
