비오 수란 무엇인가요?
비오 수(Biot number, Bi)는 비정상 열전도 해석에서 쓰이는 무차원 수입니다. 물체 내부의 열전달 저항(전도)과 표면에서의 열전달 저항(대류)을 서로 비교하는 값이죠. 비오 수가 작다는 것은 물체가 주변으로 열을 빼앗기는 속도보다 내부에서 열을 훨씬 빠르게 전달한다는 뜻이며, 그 결과 가열되거나 냉각되는 동안 물체의 온도가 거의 균일하게 유지됩니다.
계산기 사용 방법
세 가지 값을 입력하세요. 대류 열전달계수 h(W/m²·K), 특성 길이 Lc(m), 그리고 고체의 열전도율 k(W/m·K)입니다. 계산기는 \(\text{Bi} = \frac{\text{h} \cdot \text{L}_c}{\text{k}}\)를 계산해 주고, 널리 쓰이는 집중 열용량(lumped capacitance) 근사를 적용할 수 있는지도 함께 알려 줍니다.
공식 풀이
지배 방정식은 다음과 같습니다.
$$\text{Bi} = \frac{\text{h} \cdot \text{L}_c}{\text{k}}$$특성 길이 Lc는 보통 부피를 표면적으로 나눈 값(V/A)으로 잡습니다. 한쪽 면만 냉각되는 두께 L의 평판은 L, 반지름 \(r\)인 구는 \(r/3\), 길이가 긴 원기둥은 \(r/2\)가 됩니다. Bi < 0.1이면 내부의 온도 구배를 무시할 수 있어, 물체 전체를 하나의 집중된 노드처럼 다룰 수 있습니다.
예제로 알아보기
h = 10 W/m²·K, Lc = 0.05 m, k = 200 W/m·K인 금속 부품을 보면 다음과 같이 됩니다.
$$\text{Bi} = \frac{10 \times 0.05}{200} = \frac{0.5}{200} = 0.0025$$0.0025 < 0.1이므로 집중 열용량 방법을 적용할 수 있습니다.
기하학 형태에 따른 특성 길이 (Lc)
집중 열용량 해석에서 특성 길이는 대류에 노출된 고체의 부피와 표면적의 비로 정의됩니다: \(L_c = V/A_s\). 이 일관된 정의를 사용하면 비오트 수 기준 (\(\text{Bi}<0.1\))이 여러 형태에 걸쳐 직접 비교 가능합니다. 그러나 일부 교과서에서는 1항 급수 및 하이슬러 차트 해석을 위해 전체 반지름 또는 반두께를 사용합니다. 두 규약 모두 아래에 나와 있습니다.
| 기하학 형태 | 정의 치수 | \(L_c = V/A_s\) | 전도 길이 규약 |
|---|---|---|---|
| 평면 벽, 양쪽 면이 냉각됨 | 두께 \(2L\) | \(L\) | 반두께 \(L\) |
| 평면 벽 / 슬래브, 한쪽 면이 단열됨 | 두께 \(L\) | \(L\) | 두께 \(L\) |
| 긴 원통 (반지름 \(r\)) | 반지름 \(r\) | \(r/2\) | 반지름 \(r\) |
| 구 (반지름 \(r\)) | 반지름 \(r\) | \(r/3\) | 반지름 \(r\) |
| 정육면체 (변의 길이 \(a\)) | 변의 길이 \(a\) | \(a/6\) | 반변의 길이 \(a/2\) |
계산 확인: 반지름이 \(r=0.02\text{ m}\)인 구의 경우, \(L_c = r/3 = 0.02/3 \approx 0.00667\text{ m}\). 같은 반지름의 긴 원통의 경우, \(L_c = r/2 = 0.01\text{ m}\).
비오트 수 해석
비오트 수는 내부 전도 저항 \((L_c/k)\)과 외부 대류 저항 \((1/h)\)을 비교합니다. 이는 고체가 거의 균일한 내부 온도로 가열 또는 냉각되는지, 아니면 유의미한 내부 온도 구배가 존재하는지를 나타냅니다.
| 비오트 범위 | 물리적 의미 | 권장 해석 방법 |
|---|---|---|
| \(\text{Bi}<0.1\) | 내부 전도 저항은 무시할 수 있습니다. 물체의 온도는 모든 순간에 거의 균일합니다. | 집중 열용량 모형이 유효합니다. 지수 감소 \(\theta/\theta_0 = e^{-t/\tau}\)를 사용하며, \(\tau = \rho V c_p / (h A_s)\)입니다. |
| \(0.1<\text{Bi}<\sim 10\) | 유한한 내부 온도 구배가 존재합니다. 어느 저항도 지배적이지 않습니다. | 1항 근사 또는 적절한 기하학 형태에 대한 하이슬러/비정상 전도 차트 해석을 사용합니다. |
| \(\text{Bi}>\sim 10\) | 대류 저항은 무시할 수 있습니다. 표면 온도는 거의 유체 온도에 고정됩니다. | 전도 지배적입니다. 표면을 등온 경계 조건으로 취급합니다 (\(T_s \approx T_\infty\)). |
널리 사용되는 공학 기준값인 \(\text{Bi}=0.1\)은 집중 열용량 온도 오차를 대략 5% 이하로 유지합니다. 이 값 이하에서 단순한 단일 노드 모형은 편리하고 정확합니다.
주요 용어 및 변수
- 대류 열전달 계수, \(h\) (W/m²·K)
- 고체 표면과 주변 유체 간의 열 교환 속도로, 단위 면적당 온도 차이 1도당입니다. 강제 대류에서, 그리고 액체에서는 고요한 공기보다 더 큽니다.
- 특성 길이, \(L_c\) (m)
- 고체의 기하학적 크기로, 집중 해석에서 \(L_c = V/A_s\)로 정의됩니다. 열이 내부적으로 전도되어야 하는 전형적인 거리를 나타냅니다.
- 고체의 열전도도, \(k\) (W/m·K)
- 고체의 열 전도 능력입니다. 비오트 수의 \(k\)는 주변 유체가 아닌 고체 물체의 열전도도임을 주의하세요.
- 비오트 수, \(\text{Bi}\) (무차원)
- \(\text{Bi}=hL_c/k\); 내부 전도 저항과 표면 대류 저항의 비입니다.
- 집중 열용량
- 전체 물체를 단일 균일 온도 노드로 취급하는 이상화로, \(\text{Bi}<0.1\)일 때 유효합니다.
비오트 vs. 누셀트: 둘 다 \(hL/k\) 형태를 공유하지만 \(k\)를 다르게 사용합니다. 비오트 수는 고체의 열전도도를 사용하여 내부 저항과 표면 저항을 계량합니다. 누셀트 수는 유체의 열전도도를 사용하여 유체에서의 대류 vs. 전도 열전달을 계량하므로, 같은 \(h\)와 \(L\)이라도 매우 다른 값을 제공합니다.
자주 묻는 질문
왜 Bi < 0.1이 기준이 되나요? 이 기준 아래에서는 고체 내부의 온도 차이가 약 5% 미만으로 작아져, 대부분의 공학 실무에서는 무시해도 좋을 만큼 미미하기 때문입니다.
비오 수와 누셀트 수의 차이는 무엇인가요? 둘 다 \(\text{h} \cdot \text{L} / \text{k}\) 형태를 사용하지만, 비오 수는 고체의 열전도율을 쓰는 반면 누셀트 수는 유체의 열전도율을 사용합니다.
k가 0이면 어떻게 되나요? 실제 재료의 열전도율은 0이 될 수 없습니다. 계산기는 0으로 나누는 오류를 방지하기 위해 이런 경우 결과를 0으로 반환합니다.
