ビオ数とは？
ビオ数（Bi）は、非定常熱伝導の解析で用いられる無次元量です。物体内部での熱の伝わりにくさ（熱伝導による抵抗）と、物体表面での熱の伝わりにくさ（対流による抵抗）の比を表します。ビオ数が小さいということは、物体が周囲へ熱を逃がすよりもはるかに速く内部で熱を伝えていることを意味し、加熱中や冷却中でも物体の温度がほぼ一様に保たれます。
この計算ツールの使い方
次の3つの値を入力します。対流熱伝達係数 h（W/m²·K）、代表長さ Lc（m）、そして固体の熱伝導率 k（W/m·K）です。計算ツールは \(\text{Bi} = \frac{\text{h} \cdot \text{L}_c}{\text{k}}\) を算出し、よく使われる集中熱容量近似（ランプドキャパシタンス法）が適用できるかどうかを判定します。
計算式の解説
基本となる式は次のとおりです。
$$\text{Bi} = \frac{\text{h} \cdot \text{L}_c}{\text{k}}$$代表長さ Lc は通常、体積を表面積で割った値（V/A）として求めます。片面から冷却される厚さ L の平板では \(\text{L}_c = \text{L}\)、半径 r の球では \(r/3\)、長い円柱では \(r/2\) となります。Bi < 0.1 の場合は内部の温度勾配が無視できるほど小さく、物体全体を温度が一様な「ひとつの節点」として扱うことができます。
計算例
h = 10 W/m²·K、Lc = 0.05 m、k = 200 W/m·K の金属部品では、次のようになります。
$$\text{Bi} = \frac{10 \times 0.05}{200} = \frac{0.5}{200} = 0.0025$$0.0025 < 0.1 なので、この場合は集中熱容量法を適用できます。
特性長さ（Lc）幾何学による
集中容量法解析では、特性長さは固体の体積と対流に露出した表面積の比として定義されます。\(L_c = V/A_s\)。この一貫した定義により、ビオ数の基準（\(\text{Bi}<0.1\)）が形状全体で直接比較可能になります。一部の教科書は、1項級数とハイスラー図表解の場合、代わりに全半径または半厚さを使用します。両方の規約を以下に示します。
| 幾何学 | 定義される寸法 | \(L_c = V/A_s\) | 伝導長の規約 |
|---|---|---|---|
| 平面壁、両面冷却 | 厚さ \(2L\) | \(L\) | 半厚さ \(L\) |
| 平面壁／スラブ、片面断熱 | 厚さ \(L\) | \(L\) | 厚さ \(L\) |
| 長い円柱（半径 \(r\)） | 半径 \(r\) | \(r/2\) | 半径 \(r\) |
| 球（半径 \(r\)） | 半径 \(r\) | \(r/3\) | 半径 \(r\) |
| 立方体（辺 \(a\)） | 辺 \(a\) | \(a/6\) | 半辺 \(a/2\) |
計算例：半径 \(r=0.02\text{ m}\) の球の場合、\(L_c = r/3 = 0.02/3 \approx 0.00667\text{ m}\)。同じ半径の長い円柱の場合、\(L_c = r/2 = 0.01\text{ m}\)。
ビオ数の解釈
ビオ数は内部伝導抵抗 \((L_c/k)\) と外部対流抵抗 \((1/h)\) を比較します。固体がほぼ均一な内部温度で加熱または冷却されるか、または有意な内部温度勾配で加熱または冷却されるかを示します。
| ビオ数範囲 | 物理的意味 | 推奨される解析 |
|---|---|---|
| \(\text{Bi}<0.1\) | 内部伝導抵抗は無視できます。物体の温度は任意の時刻で本質的に均一です。 | 集中容量モデルが有効です。\(\tau = \rho V c_p / (h A_s)\) の指数減衰 \(\theta/\theta_0 = e^{-t/\tau}\) を使用します。 |
| \(0.1<\text{Bi}<\sim 10\) | 有限の内部温度勾配が存在します。どちらの抵抗も支配的ではありません。 | 1項近似またはハイスラー／過渡伝導図表解を適切な幾何学に使用します。 |
| \(\text{Bi}>\sim 10\) | 対流抵抗は無視できます。表面温度は本質的に流体温度に固定されます。 | 伝導制御；表面を等温境界条件（\(T_s \approx T_\infty\)）として扱います。 |
\(\text{Bi}=0.1\) の広く使用されている工学的しきい値は、温度での集中容量誤差を約5％以下に保ちます。この値以下では、単純な単一ノードモデルは便利で正確です。
主要用語と変数
- 対流熱伝達係数、\(h\) (W/m²·K)
- 固体表面と周囲流体間の熱交換率（単位面積当たり、温度差1度当たり）。強制対流ではより大きく、液体では静止空気よりも大きいです。
- 特性長さ、\(L_c\) (m)
- 固体の幾何学的スケール。集中解析では \(L_c = V/A_s\) として定義されます。熱が内部を伝導する必要がある典型的な距離を表します。
- 固体の熱伝導率、\(k\) (W/m·K)
- 固体の本質的な熱伝導能力。ビオ数の \(k\) は周囲流体ではなく固体本体のものであることに注意してください。
- ビオ数、\(\text{Bi}\) (無次元)
- \(\text{Bi}=hL_c/k\)；内部伝導抵抗と表面対流抵抗の比。
- 集中容量
- 全体を単一の均一温度ノードとして扱う理想化。\(\text{Bi}<0.1\) のときに有効です。
ビオ数対ヌセルト数： 両者は \(hL/k\) の形を共有していますが、異なる \(k\) を使用します。ビオ数は固体の熱伝導率を使用し、内部と表面の抵抗を測定します。ヌセルト数は流体の熱伝導率を使用し、流体における対流と伝導熱伝達を測定します。したがって、同じ \(h\) と \(L\) は非常に異なる値を与えます。
よくある質問
なぜ Bi < 0.1 が目安なのですか？ この値を下回ると、固体内部の温度差はおよそ5%以内に収まります。多くの工学的な計算では十分に小さく、無視できる程度です。
ビオ数とヌセルト数の違いは？ どちらも \(\text{h} \cdot \text{L}/\text{k}\) という形をしていますが、ビオ数は固体の熱伝導率を使うのに対し、ヌセルト数は流体の熱伝導率を使う点が異なります。
k がゼロのときはどうなりますか？ 現実の材料の熱伝導率がゼロになることはありません。この計算ツールはゼロ除算を防ぐ仕組みになっており、その場合は 0 を返します。
