什麼是比例的標準誤？
比例的標準誤（SE）衡量的是：由於隨機抽樣的緣故，樣本比例與母體真實比例之間可能出現的偏差幅度。它能告訴你某個估計值的精確度，例如問卷調查的支持率、網站的轉換率，或是產品的不良率。標準誤愈小，代表這個樣本比例愈能可靠地反映母體的真實情況。
如何使用這個計算器
請將樣本比例 p 以 0 到 1 之間的小數輸入（例如 40% 就輸入 0.40），並填入樣本數 n（也就是觀測值的數量）。計算器會回傳標準誤以及抽樣變異數。你可以用這些數值來建立信賴區間，或對比例進行假設檢定。
公式說明
比例標準誤的公式如下：
$$SE = \sqrt{\dfrac{\text{p}\left(1 - \text{p}\right)}{\text{n}}}$$
其中 \(p(1-p)\) 是單次伯努利試驗（Bernoulli trial）的變異數。除以 \(n\) 之後，得到的就是樣本比例的變異數；再開平方，便能把單位換算回與 \(p\) 相同的尺度。當 \(p = 0.5\) 時標準誤最大（不確定性最高），而隨著樣本數 \(n\) 增加，標準誤會逐漸縮小。
實例試算
假設在 100 位受訪顧客中，有 40 位偏好某項產品，因此 \(p = 0.40\)、\(n = 100\)。那麼變異數 $$= 0.40 \times 0.60 / 100 = 0.0024$$，標準誤 $$SE = \sqrt{0.0024} \approx 0.04899$$。粗略估計的 95% 信賴區間為 \(0.40 \pm 1.96 \times 0.049\)，約落在 0.304 到 0.496 之間。
常見問題
p 要填小數還是百分比？ 請填入 0 到 1 之間的小數。若手上是百分比，除以 100 即可換算（例如 25% = 0.25）。
這個公式在什麼情況下成立？ 它假設樣本量大且為隨機抽樣，當 \(np\) 與 \(n(1-p)\) 都至少約 5 到 10 時，結果最為準確。
哪一個比例會產生最大的標準誤？ 在樣本數固定的情況下，\(p = 0.5\) 會帶來最大的標準誤，因此在做保守的樣本數規劃時，常以這個值來估算。
