什麼是標準誤差？
平均值的標準誤差（standard error of the mean，縮寫為 SEM 或 SE）用來衡量「樣本平均值」與「母體真實平均值」之間預期會有多少落差。標準差描述的是個別資料點的分散程度，而標準誤差描述的則是你所估計平均值的精確度。標準誤差越小，代表你的樣本平均值越能可靠地反映母體平均值。
如何使用這個計算器
只要輸入兩個數值：樣本標準差（s）與樣本數（n）。計算器會將標準差除以樣本數的平方根，立即回傳平均值的標準誤差。無論你是要建立信賴區間、進行假設檢定，或是回報誤差範圍（margin of error），都可以派上用場。
公式說明
標準誤差的計算公式為 $$\text{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}}$$ 關鍵就在分母——也就是 \(n\) 的平方根：當樣本數變大時，平方根的成長速度比較慢，因此標準誤差會隨之縮小。換句話說，若想讓標準誤差減半，你必須蒐集四倍的觀測值。這也是為什麼樣本越大，對母體平均值的估計就越精確。
實際範例
假設有一組 25 筆測量值的樣本，其標準差為 10，則 $$\text{SE} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$ 也就是說，這個樣本平均值與母體真實平均值之間，預期約會有 2 個單位的差距。若將樣本數提高到 100，標準誤差便會降到 \(10 / 10 = 1\)，精確度提升一倍。
常見問題
標準差與標準誤差有什麼不同？標準差衡量的是個別資料點之間的變異程度；標準誤差衡量的則是樣本平均值作為母體平均值估計值時的變異程度。
標準誤差會隨樣本數增加而變小嗎？會的。由於 \(n\) 位在分母且開了平方根，因此樣本數越大，標準誤差就越小。
這個工具可以用來計算比例（proportion）嗎？本計算器是針對「平均值」的標準誤差。比例的標準誤差採用不同的公式，為 \(\sqrt{p(1-p)/n}\)。
