임계각이란?
빛이 광학적으로 밀한 매질(굴절률이 큰 n₁)에서 소한 매질(굴절률이 작은 n₂)로 진행할 때, 빛은 법선에서 멀어지는 쪽으로 꺾입니다. 입사각이 커질수록 굴절된 빛은 더 많이 꺾여서 결국 경계면을 스치듯 지나가게 되는데, 바로 이때의 입사각이 임계각(\(\theta_c\))입니다. 임계각을 넘어서면 빛은 더 이상 밖으로 굴절되어 나가지 못하고 전부 안쪽으로 반사되는데, 이를 전반사(TIR, total internal reflection)라고 합니다. 광섬유가 빛을 먼 거리까지 전달하고, 다이아몬드가 영롱하게 빛나는 것도 모두 전반사 덕분입니다.
계산기 사용 방법
빛이 현재 진행 중인 밀한 매질의 굴절률(\(\text{n}_1\))과, 빛이 들어가려는 소한 매질의 굴절률(\(\text{n}_2\))을 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 임계각을 도(°)와 라디안 단위로 알려 줍니다. 이 계산기는 \(\text{n}_1 > \text{n}_2\)일 때만 결과를 보여 주는데, 그렇지 않으면 물리적으로 임계각이 존재할 수 없기 때문입니다.
공식 풀이
임계각은 스넬의 법칙 \(\text{n}_1 \cdot \sin(\theta_c) = \text{n}_2 \cdot \sin(90°)\)에서 바로 유도됩니다. \(\sin(90°) = 1\)이므로 이 식을 정리하면 \(\sin(\theta_c) = \frac{\text{n}_2}{\text{n}_1}\)가 되고, 따라서
$$\theta_c = \arcsin\!\left(\frac{\text{n}_2}{\text{n}_1}\right)$$가 됩니다. 아크사인이 정의되려면 \(\frac{\text{n}_2}{\text{n}_1}\) 비율이 1 이하여야 하는데, 이것이 바로 앞서 말한 \(\text{n}_1 > \text{n}_2\) 조건과 같습니다.
예제 풀이
빛이 유리(\(\text{n}_1 = 1.5\)) 안에서 공기(\(\text{n}_2 = 1.0\)) 쪽으로 진행한다고 합시다. 비율은 \(\frac{1.0}{1.5} = 0.6667\)이므로
$$\theta_c = \arcsin(0.6667) \approx 41.81°$$가 됩니다. 즉, 유리와 공기의 경계면에 법선으로부터 약 41.8°보다 큰 각도로 부딪치는 빛은 모두 전반사됩니다.
자주 묻는 질문
왜 계산 결과가 나오지 않나요? 임계각은 밀한 매질에서 소한 매질로 빛이 진행할 때만 존재합니다. \(\text{n}_2\)가 \(\text{n}_1\)보다 크거나 같으면 빛은 언제나 밖으로 굴절되어 나가므로 전반사가 일어나지 않습니다.
공기 중 다이아몬드의 임계각은 얼마인가요? \(\text{n}_1 \approx 2.42\), \(\text{n}_2 = 1.0\)일 때 \(\theta_c = \arcsin(1/2.42) \approx 24.4°\)입니다. 임계각이 이렇게 작기 때문에 다이아몬드는 그토록 많은 빛을 가두고 반사해 반짝이는 것입니다.
빛의 파장도 영향을 주나요? 약간 영향을 줍니다. 굴절률은 파장에 따라 달라지므로(분산 현상), 정밀한 계산이 필요할 때는 해당 빛의 색(파장)에 맞는 굴절률을 사용하세요.
