비틀림각이란?
축에 토크가 가해지면 축은 자신의 축선을 중심으로 회전하면서 한쪽 끝이 다른 쪽 끝에 대해 상대적으로 돌아갑니다. 이 회전량을 비틀림각이라 부르며 기호 \(\varphi\)로 나타냅니다. 비틀림각은 원형 축의 비틀림 해석에서 가장 기본이 되는 값으로, 드라이브 샤프트·차축·스프링·커플링 등을 설계할 때 반드시 고려해야 합니다. 비틀림이 지나치면 축 정렬이 틀어지거나 부품이 파손될 수 있기 때문입니다.
계산 공식
일정한 토크를 받는 균일한 원형 단면 축의 비틀림각은 다음과 같습니다.
$$\varphi = \frac{T \cdot L}{J \cdot G}$$여기서 \(T\)는 가해진 토크(\(\text{N}\cdot\text{m}\)), \(L\)은 축의 길이(m), \(J\)는 단면의 극관성모멘트(\(\text{m}^4\)), \(G\)는 재료의 전단탄성계수(Pa)입니다. 결과 \(\varphi\)의 단위는 라디안이며, \(180/\pi\)를 곱하면 도(°) 단위로 환산됩니다. 속이 찬 원형 축은 \(J = \pi d^4/32\), 속이 빈 중공 축은 \(J = \pi(d_o^4 - d_i^4)/32\)로 구합니다.
계산기 사용법
토크, 축의 길이, 극관성모멘트, 재료의 전단탄성계수를 입력하세요. 계산기가 비틀림각을 도(°)와 라디안 두 단위로 동시에 알려줍니다.
계산 예시
전단탄성계수 \(G = 79\ \text{GPa} = 79\times10^9\ \text{Pa}\)인 강철 축이 길이 1 m, \(J = 1\times10^{-7}\ \text{m}^4\)이고 100 N·m의 토크를 받는다고 합시다. 그러면 $$\varphi = \frac{100 \times 1}{1\times10^{-7} \times 79\times10^9} = \frac{100}{7900} = 0.012658\ \text{rad} \approx 0.7252°$$가 됩니다.
극 관성 모멘트 공식
극 관성 모멘트 \(J\) (극 2차 면적 모멘트라고도 함)는 단면이 비틀림에 저항하는 정도를 나타냅니다. 원형 축의 경우 지름에서 직접 계산되며, SI 단위는 4제곱미터, \(\text{m}^4\)입니다.
실심 원형 축 (지름 \(d\)):
$$J = \frac{\pi d^4}{32}$$속이 빈 원형 축 (외부 지름 \(d_o\), 내부 지름 \(d_i\)):
$$J = \frac{\pi\left(d_o^4 - d_i^4\right)}{32}$$| 기호 | 의미 | 단위 |
|---|---|---|
| \(J\) | 극 관성 모멘트 | \(\text{m}^4\) |
| \(d\) | 실심 축의 지름 | \(\text{m}\) |
| \(d_o\) | 속이 빈 축의 외부 지름 | \(\text{m}\) |
| \(d_i\) | 속이 빈 축의 내부 (공홍) 지름 | \(\text{m}\) |
기본 비틀림 공식 \(\varphi = \tfrac{TL}{JG}\)는 비틀림 각을 라디안 단위로 반환합니다. 결과를 도(degree)로 표현하려면 다음 변환 계수를 곱합니다:
$$\varphi_{\text{deg}} = \varphi_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi} \approx \varphi_{\text{rad}} \times 57.2958$$실제 값으로, 지름 \(d = 0.05\,\text{m}\) (50 mm)인 실심 축은 \(J = \tfrac{\pi (0.05)^4}{32} = 6.136\times 10^{-7}\,\text{m}^4\)를 얻습니다.
여러 축에 걸친 비틀림 각
아래 표는 \(\varphi = \tfrac{TL}{JG}\)를 여러 실제 실심 원형 축에 적용합니다. 각각에 대해 \(J\)는 \(J = \pi d^4/32\)를 사용하여 지름에서 계산되고, 비틀림은 라디안 단위로 구한 다음 \(180/\pi\) 계수로 도 단위로 변환됩니다. 더 큰 지름은 \(J\)가 지름의 4제곱에 비례하기 때문에 비틀림을 극적으로 감소시킵니다.
| 축 | 토크 T (N·m) | 길이 L (m) | 지름 d (mm) | J (m⁴) | 재료 / G | φ (rad) | φ (deg) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 경량 전동 축 | 200 | 1.0 | 30 | 7.952 × 10⁻⁸ | 강철 / 79 GPa | 0.0318 | 1.82 |
| 중형 강철 축 | 500 | 2.0 | 50 | 6.136 × 10⁻⁷ | 강철 / 79 GPa | 0.0206 | 1.18 |
| 대형 산업용 축 | 1500 | 1.5 | 80 | 4.021 × 10⁻⁶ | 강철 / 79 GPa | 0.00709 | 0.406 |
| 알루미늄 축 | 300 | 1.0 | 40 | 2.513 × 10⁻⁷ | 알루미늄 / 26 GPa | 0.0459 | 2.63 |
| 황동 축 | 250 | 1.2 | 35 | 1.473 × 10⁻⁷ | 황동 / 37 GPa | 0.0550 | 3.15 |
알루미늄과 대형 강철 사례의 대조를 주목하세요: 훨씬 작은 토크에도 불구하고 알루미늄 축은 지름이 더 작아 \(J\)가 작고 전단 모듈러스도 낮기 때문에 훨씬 더 많이 비틀립니다. 경량 전동 축의 비틀림, \(\varphi = \tfrac{200 \times 1.0}{(7.952\times 10^{-8})(7.9\times 10^{10})} = 0.0318\,\text{rad}\), 은 \(0.0318 \times \tfrac{180}{\pi} = 1.82^\circ\)와 같습니다.
자주 묻는 질문
원형이 아닌 축에도 적용되나요? 위의 간단한 \(J\) 공식은 원형 단면에만 적용됩니다. 비원형 단면은 극관성모멘트 대신 비틀림 상수(torsional constant)를 사용해야 합니다.
대표적인 재료의 전단탄성계수는 얼마인가요? 강철 약 79 GPa, 알루미늄 약 26 GPa, 황동 약 37 GPa입니다.
왜 비틀림각이 먼저 라디안으로 나오나요? 역학 공식 자체가 라디안 단위로 결과를 내기 때문입니다. 이해하기 쉬운 도(°) 단위는 여기에 \(180/\pi\)를 곱해 얻습니다.
