비틀림각 계산기

계산 입력

가해진 토크 T (N·m)

축 길이 L (m)

극관성모멘트 J (m⁴)

전단탄성계수 G (Pa)

결과

비틀림각

0.7253

도(°)

각도 (라디안)	0.012658
공식	φ = T·L / (J·G)

비틀림각이란?

축에 토크가 가해지면 축은 자신의 축선을 중심으로 회전하면서 한쪽 끝이 다른 쪽 끝에 대해 상대적으로 돌아갑니다. 이 회전량을 비틀림각이라 부르며 기호 \(\varphi\)로 나타냅니다. 비틀림각은 원형 축의 비틀림 해석에서 가장 기본이 되는 값으로, 드라이브 샤프트·차축·스프링·커플링 등을 설계할 때 반드시 고려해야 합니다. 비틀림이 지나치면 축 정렬이 틀어지거나 부품이 파손될 수 있기 때문입니다.

A fixed shaft twists by an angle \(\varphi\) when a torque \(T\) is applied at the free end.

계산 공식

일정한 토크를 받는 균일한 원형 단면 축의 비틀림각은 다음과 같습니다.

$$\varphi = \frac{T \cdot L}{J \cdot G}$$

여기서 \(T\)는 가해진 토크(\(\text{N}\cdot\text{m}\)), \(L\)은 축의 길이(m), \(J\)는 단면의 극관성모멘트(\(\text{m}^4\)), \(G\)는 재료의 전단탄성계수(Pa)입니다. 결과 \(\varphi\)의 단위는 라디안이며, \(180/\pi\)를 곱하면 도(°) 단위로 환산됩니다. 속이 찬 원형 축은 \(J = \pi d^4/32\), 속이 빈 중공 축은 \(J = \pi(d_o^4 - d_i^4)/32\)로 구합니다.

The polar moment of inertia \(J\) depends on the shaft's circular cross-section.

계산기 사용법

토크, 축의 길이, 극관성모멘트, 재료의 전단탄성계수를 입력하세요. 계산기가 비틀림각을 도(°)와 라디안 두 단위로 동시에 알려줍니다.

계산 예시

전단탄성계수 \(G = 79\ \text{GPa} = 79\times10^9\ \text{Pa}\)인 강철 축이 길이 1 m, \(J = 1\times10^{-7}\ \text{m}^4\)이고 100 N·m의 토크를 받는다고 합시다. 그러면 $$\varphi = \frac{100 \times 1}{1\times10^{-7} \times 79\times10^9} = \frac{100}{7900} = 0.012658\ \text{rad} \approx 0.7252°$$가 됩니다.

극 관성 모멘트 공식

극 관성 모멘트 \(J\) (극 2차 면적 모멘트라고도 함)는 단면이 비틀림에 저항하는 정도를 나타냅니다. 원형 축의 경우 지름에서 직접 계산되며, SI 단위는 4제곱미터, \(\text{m}^4\)입니다.

실심 원형 축 (지름 \(d\)):

$$J = \frac{\pi d^4}{32}$$

속이 빈 원형 축 (외부 지름 \(d_o\), 내부 지름 \(d_i\)):

$$J = \frac{\pi\left(d_o^4 - d_i^4\right)}{32}$$

기호	의미	단위
\(J\)	극 관성 모멘트	\(\text{m}^4\)
\(d\)	실심 축의 지름	\(\text{m}\)
\(d_o\)	속이 빈 축의 외부 지름	\(\text{m}\)
\(d_i\)	속이 빈 축의 내부 (공홍) 지름	\(\text{m}\)

기본 비틀림 공식 \(\varphi = \tfrac{TL}{JG}\)는 비틀림 각을 라디안 단위로 반환합니다. 결과를 도(degree)로 표현하려면 다음 변환 계수를 곱합니다:

$$\varphi_{\text{deg}} = \varphi_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi} \approx \varphi_{\text{rad}} \times 57.2958$$

실제 값으로, 지름 \(d = 0.05\,\text{m}\) (50 mm)인 실심 축은 \(J = \tfrac{\pi (0.05)^4}{32} = 6.136\times 10^{-7}\,\text{m}^4\)를 얻습니다.

여러 축에 걸친 비틀림 각

아래 표는 \(\varphi = \tfrac{TL}{JG}\)를 여러 실제 실심 원형 축에 적용합니다. 각각에 대해 \(J\)는 \(J = \pi d^4/32\)를 사용하여 지름에서 계산되고, 비틀림은 라디안 단위로 구한 다음 \(180/\pi\) 계수로 도 단위로 변환됩니다. 더 큰 지름은 \(J\)가 지름의 4제곱에 비례하기 때문에 비틀림을 극적으로 감소시킵니다.

축	토크 T (N·m)	길이 L (m)	지름 d (mm)	J (m⁴)	재료 / G	φ (rad)	φ (deg)
경량 전동 축	200	1.0	30	7.952 × 10⁻⁸	강철 / 79 GPa	0.0318	1.82
중형 강철 축	500	2.0	50	6.136 × 10⁻⁷	강철 / 79 GPa	0.0206	1.18
대형 산업용 축	1500	1.5	80	4.021 × 10⁻⁶	강철 / 79 GPa	0.00709	0.406
알루미늄 축	300	1.0	40	2.513 × 10⁻⁷	알루미늄 / 26 GPa	0.0459	2.63
황동 축	250	1.2	35	1.473 × 10⁻⁷	황동 / 37 GPa	0.0550	3.15

알루미늄과 대형 강철 사례의 대조를 주목하세요: 훨씬 작은 토크에도 불구하고 알루미늄 축은 지름이 더 작아 \(J\)가 작고 전단 모듈러스도 낮기 때문에 훨씬 더 많이 비틀립니다. 경량 전동 축의 비틀림, \(\varphi = \tfrac{200 \times 1.0}{(7.952\times 10^{-8})(7.9\times 10^{10})} = 0.0318\,\text{rad}\), 은 \(0.0318 \times \tfrac{180}{\pi} = 1.82^\circ\)와 같습니다.

자주 묻는 질문

원형이 아닌 축에도 적용되나요? 위의 간단한 \(J\) 공식은 원형 단면에만 적용됩니다. 비원형 단면은 극관성모멘트 대신 비틀림 상수(torsional constant)를 사용해야 합니다.

대표적인 재료의 전단탄성계수는 얼마인가요? 강철 약 79 GPa, 알루미늄 약 26 GPa, 황동 약 37 GPa입니다.

왜 비틀림각이 먼저 라디안으로 나오나요? 역학 공식 자체가 라디안 단위로 결과를 내기 때문입니다. 이해하기 쉬운 도(°) 단위는 여기에 \(180/\pi\)를 곱해 얻습니다.