Что такое угол закручивания?
Когда к валу прикладывается крутящий момент, вал поворачивается вокруг своей оси — один его конец проворачивается относительно другого. Величину этого поворота называют углом закручивания и обозначают \(\varphi\). Это одна из ключевых характеристик при кручении круглых валов, без которой не обойтись при расчёте приводных валов, осей, пружин и муфт: чрезмерное закручивание может привести к перекосу или разрушению детали.
Формула
Для вала постоянного круглого сечения при неизменном крутящем моменте угол закручивания определяется так:
$$\varphi = \frac{T \cdot L}{J \cdot G}$$
где T — приложенный крутящий момент (Н·м), L — длина вала (м), J — полярный момент инерции сечения (м⁴), а G — модуль сдвига материала (Па). Результат \(\varphi\) получается в радианах; чтобы перевести в градусы, умножьте его на \(180/\pi\). Для сплошного круглого вала \(J = \pi d^4 / 32\), а для полого (трубчатого) — \(J = \pi(d_o^4 - d_i^4)/32\).
Как пользоваться калькулятором
Введите крутящий момент, длину вала, полярный момент инерции и модуль сдвига материала. Калькулятор выдаст угол закручивания сразу и в градусах, и в радианах.
Пример расчёта
Стальной вал (\(G = 79\ \text{ГПа} = 79\times10^9\ \text{Па}\)) длиной 1 м с \(J = 1\times10^{-7}\ \text{м}^4\) нагружен крутящим моментом 100 Н·м. Тогда $$\varphi = \frac{100 \times 1}{1\times10^{-7} \times 79\times10^9} = \frac{100}{7900} = 0{,}012658\ \text{рад} \approx 0{,}7252^\circ.$$
Частые вопросы
Подходит ли формула для некруглых валов? Простая формула для \(J\) справедлива только для круглого сечения. Для некруглых сечений вместо полярного момента инерции используют момент инерции при кручении (геометрическую жёсткость).
Чему равен модуль сдвига распространённых материалов? Сталь ≈ 79 ГПа, алюминий ≈ 26 ГПа, латунь ≈ 37 ГПа.
Почему угол сначала считается в радианах? Формула механики по своей природе даёт результат в радианах; чтобы получить более наглядные градусы, его умножают на \(180/\pi\).
Формулы полярного момента инертности
Полярный момент инертности \(J\) (также называется полярным вторым моментом площади) описывает, как поперечное сечение сопротивляется кручению. Для круглых валов он вычисляется непосредственно из диаметра, с единицами СИ в метрах в четвёртой степени, \(\text{м}^4\).
Сплошной круглый вал диаметром \(d\):
$$J = \frac{\pi d^4}{32}$$Полый круглый вал с наружным диаметром \(d_o\) и внутренним диаметром \(d_i\):
$$J = \frac{\pi\left(d_o^4 - d_i^4\right)}{32}$$| Символ | Значение | Единица |
|---|---|---|
| \(J\) | Полярный момент инертности | \(\text{м}^4\) |
| \(d\) | Диаметр сплошного вала | \(\text{м}\) |
| \(d_o\) | Наружный диаметр полого вала | \(\text{м}\) |
| \(d_i\) | Внутренний (скважинный) диаметр полого вала | \(\text{м}\) |
Основная формула кручения \(\varphi = \tfrac{TL}{JG}\) возвращает угол закручивания в радианах. Чтобы выразить результат в градусах, умножьте на коэффициент преобразования:
$$\varphi_{\text{град}} = \varphi_{\text{рад}} \times \frac{180}{\pi} \approx \varphi_{\text{рад}} \times 57,2958$$Для вычисленного значения сплошной вал диаметром \(d = 0,05\,\text{м}\) (50 мм) даёт \(J = \tfrac{\pi (0,05)^4}{32} = 6,136\times 10^{-7}\,\text{м}^4\).
Угол закручивания на разных валах
В таблице ниже применяется \(\varphi = \tfrac{TL}{JG}\) к нескольким реальным сплошным круглым валам. Для каждого \(J\) вычисляется из диаметра с использованием \(J = \pi d^4/32\), закручивание вычисляется в радианах, затем преобразуется в градусы с помощью коэффициента \(180/\pi\). Больший диаметр резко снижает закручивание, так как \(J\) масштабируется в четвёртой степени диаметра.
| Вал | Крутящий момент T (Н·м) | Длина L (м) | Диаметр d (мм) | J (м⁴) | Материал / G | φ (рад) | φ (град) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Лёгкий приводной вал | 200 | 1,0 | 30 | 7,952 × 10⁻⁸ | Сталь / 79 ГПа | 0,0318 | 1,82 |
| Средний стальной вал | 500 | 2,0 | 50 | 6,136 × 10⁻⁷ | Сталь / 79 ГПа | 0,0206 | 1,18 |
| Тяжёлый промышленный вал | 1500 | 1,5 | 80 | 4,021 × 10⁻⁶ | Сталь / 79 ГПа | 0,00709 | 0,406 |
| Алюминиевый вал | 300 | 1,0 | 40 | 2,513 × 10⁻⁷ | Алюминий / 26 ГПа | 0,0459 | 2,63 |
| Латунный вал | 250 | 1,2 | 35 | 1,473 × 10⁻⁷ | Латунь / 37 ГПа | 0,0550 | 3,15 |
Заметьте контраст между случаями алюминия и тяжёлой стали: даже с гораздо меньшим крутящим моментом алюминиевый вал закручивается намного больше, потому что как его диаметр (меньший \(J\)), так и модуль сдвига ниже. Закручивание лёгкого приводного вала, \(\varphi = \tfrac{200 \times 1,0}{(7,952\times 10^{-8})(7,9\times 10^{10})} = 0,0318\,\text{рад}\), равно \(0,0318 \times \tfrac{180}{\pi} = 1,82^\circ\).
