什麼是扭轉角？
當扭矩作用在軸件上時，軸件會繞著自身軸線旋轉——一端相對於另一端產生轉動。這個轉動量就稱為扭轉角，以符號 \(\varphi\) 表示。它是圓軸扭轉問題中的基本量，在設計傳動軸、車軸、彈簧與聯軸器時尤其關鍵，因為過大的扭轉角可能導致對中失準甚至零件失效。
計算公式
對於等截面圓軸在固定扭矩作用下，扭轉角為：
$$\varphi = \frac{T \cdot L}{J \cdot G}$$
其中 \(T\) 為施加的扭矩（\(\text{N}\cdot\text{m}\)），\(L\) 為軸長（m），\(J\) 為截面的極慣性矩（\(\text{m}^4\)），\(G\) 為材料的剪切模量（Pa）。算得的 \(\varphi\) 以弧度為單位，乘以 \(180/\pi\) 即可換算成角度。實心圓軸的 \(J = \pi d^4/32\)；空心軸則為 \(J = \pi(d_o^4 - d_i^4)/32\)。
如何使用本計算器
輸入扭矩、軸長、極慣性矩以及材料的剪切模量，計算器會同時以角度（度）與弧度兩種單位回傳扭轉角。
範例演算
一根鋼軸（\(G = 79\ \text{GPa} = 79\times10^9\ \text{Pa}\)）長 1 m，\(J = 1\times10^{-7}\ \text{m}^4\)，承受 100 N·m 的扭矩。則 $$\varphi = \frac{100 \times 1}{1\times10^{-7} \times 79\times10^9} = \frac{100}{7900} = 0.012658\ \text{rad} \approx 0.7252°.$$
極慣性矩公式
極慣性矩 \(J\)（也稱為極截面二次矩）描述截面對扭轉的抵抗能力。對於圓形軸，它直接由直徑計算，SI單位為米的四次方，\(\text{m}^4\)。
實心圓形軸，直徑 \(d\)：
$$J = \frac{\pi d^4}{32}$$空心圓形軸，外直徑 \(d_o\) 和內直徑 \(d_i\)：
$$J = \frac{\pi\left(d_o^4 - d_i^4\right)}{32}$$| 符號 | 意義 | 單位 |
|---|---|---|
| \(J\) | 極慣性矩 | \(\text{m}^4\) |
| \(d\) | 實心軸的直徑 | \(\text{m}\) |
| \(d_o\) | 空心軸的外直徑 | \(\text{m}\) |
| \(d_i\) | 空心軸的內（孔）直徑 | \(\text{m}\) |
基本扭轉公式 \(\varphi = \tfrac{TL}{JG}\) 返回的扭轉角以弧度表示。若要以度數表示結果，請乘以轉換係數：
$$\varphi_{\text{deg}} = \varphi_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi} \approx \varphi_{\text{rad}} \times 57.2958$$對於具體數值，直徑為 \(d = 0.05\,\text{m}\)（50毫米）的實心軸得到 \(J = \tfrac{\pi (0.05)^4}{32} = 6.136\times 10^{-7}\,\text{m}^4\)。
不同軸的扭轉角
下表應用 \(\varphi = \tfrac{TL}{JG}\) 於多個實際的實心圓形軸。對每根軸，\(J\) 使用 \(J = \pi d^4/32\) 由直徑計算，扭轉以弧度求得，然後用 \(180/\pi\) 係數轉換為度數。較大的直徑大幅度降低扭轉，因為 \(J\) 隨直徑的四次方縮放。
| 軸 | 扭矩 T（N·m） | 長度 L（m） | 直徑 d（mm） | J（m⁴） | 材料 / G | φ（弧度） | φ（度） |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 輕型傳動軸 | 200 | 1.0 | 30 | 7.952 × 10⁻⁸ | 鋼 / 79 GPa | 0.0318 | 1.82 |
| 中型鋼軸 | 500 | 2.0 | 50 | 6.136 × 10⁻⁷ | 鋼 / 79 GPa | 0.0206 | 1.18 |
| 重型工業軸 | 1500 | 1.5 | 80 | 4.021 × 10⁻⁶ | 鋼 / 79 GPa | 0.00709 | 0.406 |
| 鋁軸 | 300 | 1.0 | 40 | 2.513 × 10⁻⁷ | 鋁 / 26 GPa | 0.0459 | 2.63 |
| 黃銅軸 | 250 | 1.2 | 35 | 1.473 × 10⁻⁷ | 黃銅 / 37 GPa | 0.0550 | 3.15 |
注意鋁軸和重型鋼軸之間的對比：即使扭矩小得多，鋁軸的扭轉也遠更大，因為它的直徑（較小的 \(J\)）和剪切模量都較低。輕型傳動軸的扭轉 \(\varphi = \tfrac{200 \times 1.0}{(7.952\times 10^{-8})(7.9\times 10^{10})} = 0.0318\,\text{rad}\)，等於 \(0.0318 \times \tfrac{180}{\pi} = 1.82^\circ\)。
常見問題
非圓形截面的軸件適用嗎？簡單的 \(J\) 公式僅適用於圓形截面。非圓形截面需改用扭轉常數，而非極慣性矩。
常見材料的剪切模量大約是多少？鋼約 79 GPa，鋁約 26 GPa，黃銅約 37 GPa。
為什麼結果先以弧度表示？力學公式本身得出的就是弧度；只要再乘以 \(180/\pi\) 即可換算成角度，方便判讀。
