मरोड़ कोण क्या है?

जब किसी शाफ्ट पर टॉर्क (बल आघूर्ण) लगाया जाता है, तो शाफ्ट अपनी धुरी के चारों ओर घूमता है — यानी एक सिरा दूसरे सिरे के सापेक्ष मुड़ जाता है। इस घुमाव की मात्रा को ही मरोड़ कोण (angle of twist) कहते हैं, जिसे $\varphi$ से दर्शाया जाता है। वृत्ताकार शाफ्ट में टॉर्शन से जुड़ी यह एक बुनियादी राशि है और ड्राइव शाफ्ट, एक्सल, स्प्रिंग व कपलिंग के डिज़ाइन में इसका विशेष महत्व है, क्योंकि अत्यधिक मरोड़ से मिसअलाइनमेंट या भाग की विफलता हो सकती है।

Cylindrical shaft twisting under applied torque showing angle of twist — A fixed shaft twists by an angle φ when a torque T is applied at the free end.

सूत्र

स्थिर टॉर्क के अंतर्गत एक समान वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट वाले शाफ्ट के लिए मरोड़ कोण इस प्रकार होता है:

$$\varphi = \frac{T \cdot L}{J \cdot G}$$

यहाँ T लगाया गया टॉर्क ($\text{N}\cdot\text{m}$), L शाफ्ट की लंबाई (m), J अनुप्रस्थ काट का ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण ($\text{m}^4$), और G सामग्री का अपरूपण मापांक (Pa) है। परिणाम $\varphi$ रेडियन में मिलता है; इसे डिग्री में बदलने के लिए $180/\pi$ से गुणा करें। ठोस वृत्ताकार शाफ्ट के लिए $J = \pi d^4/32$; और खोखले शाफ्ट के लिए $J = \pi(d_o^4 - d_i^4)/32$ होता है।

Circular cross-section of a shaft with radius marked for polar moment of inertia — The polar moment of inertia J depends on the shaft's circular cross-section.

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

टॉर्क, शाफ्ट की लंबाई, ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण और सामग्री का अपरूपण मापांक दर्ज करें। कैलकुलेटर मरोड़ कोण को डिग्री और रेडियन दोनों में दिखा देगा।

हल किया गया उदाहरण

एक स्टील शाफ्ट ($G = 79\ \text{GPa} = 79\times10^9\ \text{Pa}$) की लंबाई 1 m है, जिसका $J = 1\times10^{-7}\ \text{m}^4$ है और जिस पर 100 $\text{N}\cdot\text{m}$ का टॉर्क लग रहा है। तब $$\varphi = \frac{100 \times 1}{1\times10^{-7} \times 79\times10^9} = \frac{100}{7900} = 0.012658\ \text{रेडियन} \approx 0.7252^\circ.$$

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण सूत्र

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण $J$ (जिसे ध्रुवीय दूसरा क्षेत्र आघूर्ण भी कहा जाता है) यह वर्णन करता है कि एक अनुप्रस्थ-काट कैसे मरोड़ का प्रतिरोध करती है। वृत्ताकार शाफ्ट के लिए इसे व्यास से सीधे परिकलित किया जाता है, SI इकाइयों में मीटर की चौथी शक्ति, $\text{m}^4$।

ठोस वृत्ताकार शाफ्ट व्यास $d$ का:

$$J = \frac{\pi d^4}{32}$$

खोखला वृत्ताकार शाफ्ट बाहरी व्यास $d_o$ और आंतरिक व्यास $d_i$ के साथ:

$$J = \frac{\pi\left(d_o^4 - d_i^4\right)}{32}$$

प्रतीक	अर्थ	इकाई
$J$	ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण	$\text{m}^4$
$d$	ठोस शाफ्ट का व्यास	$\text{m}$
$d_o$	खोखले शाफ्ट का बाहरी व्यास	$\text{m}$
$d_i$	खोखले शाफ्ट का आंतरिक (बोर) व्यास	$\text{m}$

मूल मरोड़ सूत्र $\varphi = \tfrac{TL}{JG}$ मरोड़ कोण को रेडियन में लौटाता है। परिणाम को डिग्री में व्यक्त करने के लिए, रूपांतरण कारक से गुणा करें:

$$\varphi_{\text{deg}} = \varphi_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi} \approx \varphi_{\text{rad}} \times 57.2958$$

एक कार्य किए गए मान के लिए, व्यास $d = 0.05\,\text{m}$ (50 मिमी) का एक ठोस शाफ्ट $J = \tfrac{\pi (0.05)^4}{32} = 6.136\times 10^{-7}\,\text{m}^4$ देता है।

विभिन्न शाफ्ट के पार मरोड़ कोण

नीचे दी गई तालिका $\varphi = \tfrac{TL}{JG}$ को कई यथार्थवादी ठोस वृत्ताकार शाफ्ट पर लागू करती है। प्रत्येक के लिए, $J$ की गणना व्यास से $J = \pi d^4/32$ का उपयोग करके की जाती है, मरोड़ रेडियन में पाया जाता है, फिर $180/\pi$ कारक के साथ डिग्री में रूपांतरित किया जाता है। बड़े व्यास नाटकीय रूप से मरोड़ को कम करते हैं क्योंकि $J$ व्यास की चौथी शक्ति के साथ स्केल करता है।

शाफ्ट	टॉर्क T (N·m)	लंबाई L (m)	व्यास d (मिमी)	J (m⁴)	सामग्री / G	φ (rad)	φ (deg)
हल्का ड्राइव शाफ्ट	200	1.0	30	7.952 × 10⁻⁸	स्टील / 79 GPa	0.0318	1.82
मध्यम स्टील शाफ्ट	500	2.0	50	6.136 × 10⁻⁷	स्टील / 79 GPa	0.0206	1.18
भारी औद्योगिक शाफ्ट	1500	1.5	80	4.021 × 10⁻⁶	स्टील / 79 GPa	0.00709	0.406
एल्यूमिनियम शाफ्ट	300	1.0	40	2.513 × 10⁻⁷	एल्यूमिनियम / 26 GPa	0.0459	2.63
पीतल शाफ्ट	250	1.2	35	1.473 × 10⁻⁷	पीतल / 37 GPa	0.0550	3.15

एल्यूमिनियम और भारी स्टील मामलों के बीच अंतर पर ध्यान दें: बहुत कम टॉर्क के साथ भी, एल्यूमिनियम शाफ्ट बहुत अधिक मरोड़ता है क्योंकि इसका व्यास (छोटा $J$) और इसका कतरनी मापांक दोनों कम हैं। हल्के ड्राइव शाफ्ट की मरोड़, $\varphi = \tfrac{200 \times 1.0}{(7.952\times 10^{-8})(7.9\times 10^{10})} = 0.0318\,\text{rad}$, $0.0318 \times \tfrac{180}{\pi} = 1.82^\circ$ के बराबर है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या यह गैर-वृत्ताकार शाफ्ट पर भी काम करता है? सरल $J$ सूत्र केवल वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट पर लागू होता है। गैर-वृत्ताकार काट के लिए ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण के बजाय एक टॉर्शनल स्थिरांक (torsional constant) की आवश्यकता होती है।

आम सामग्रियों का अपरूपण मापांक कितना होता है? स्टील ≈ 79 GPa, एल्युमिनियम ≈ 26 GPa, पीतल ≈ 37 GPa।

कोण पहले रेडियन में क्यों आता है? यांत्रिकी का यह सूत्र स्वाभाविक रूप से रेडियन में परिणाम देता है; आसान समझ के लिए इसे $180/\pi$ से गुणा करके डिग्री में बदला जाता है।

प्रतीक	अर्थ	इकाई
\(J\)	ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण	\(\text{m}^4\)
\(d\)	ठोस शाफ्ट का व्यास	\(\text{m}\)
\(d_o\)	खोखले शाफ्ट का बाहरी व्यास	\(\text{m}\)
\(d_i\)	खोखले शाफ्ट का आंतरिक (बोर) व्यास	\(\text{m}\)

मरोड़ कोण (Angle of Twist) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

सूत्र (फॉर्मूला)

परिणाम