什么是扭转角？
当对一根轴施加扭矩时，轴会绕自身轴线发生旋转——一端相对另一端转过一定角度。这个转过的角度就称为扭转角，通常用 \(\varphi\) 表示。扭转角是圆轴扭转问题中的一个基本量，在设计传动轴、车轴、弹簧和联轴器时尤为重要：扭转量过大会导致部件错位甚至失效。
计算公式
对于截面均匀的圆轴，在恒定扭矩作用下，扭转角为：
$$\varphi = \frac{\text{Torque }T \cdot \text{Length }L}{\text{Polar Moment }J \cdot \text{Shear Modulus }G}$$
其中 T 为施加的扭矩（\(\text{N}\cdot\text{m}\)），L 为轴的长度（m），J 为截面的极惯性矩（\(\text{m}^4\)），G 为材料的剪切模量（Pa）。计算结果 \(\varphi\) 的单位为弧度，乘以 \(180/\pi\) 即可换算成度。对于实心圆轴，\(J = \pi d^4 / 32\)；对于空心轴，\(J = \pi (d_o^4 - d_i^4) / 32\)。
如何使用本计算器
依次输入扭矩、轴长、极惯性矩以及材料的剪切模量，计算器会同时给出以度和弧度为单位的扭转角。
计算实例
一根钢轴（\(G = 79\ \text{GPa} = 79\times10^9\ \text{Pa}\)）长 1 m，\(J = 1\times10^{-7}\ \text{m}^4\)，承受 100 \(\text{N}\cdot\text{m}\) 的扭矩。则 $$\varphi = \frac{100 \times 1}{1\times10^{-7} \times 79\times10^9} = \frac{100}{7900} = 0.012658\ \text{rad} \approx 0.7252°$$
极惯性矩公式
极惯性矩 \(J\)（也称为极截面二阶矩）描述截面对扭转的抗力。对于圆形轴，它直接由直径计算，国际单位制单位为四次方米，\(\text{m}^4\)。
实心圆形轴，直径 \(d\)：
$$J = \frac{\pi d^4}{32}$$空心圆形轴，外直径 \(d_o\)，内直径 \(d_i\)：
$$J = \frac{\pi\left(d_o^4 - d_i^4\right)}{32}$$| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| \(J\) | 极惯性矩 | \(\text{m}^4\) |
| \(d\) | 实心轴的直径 | \(\text{m}\) |
| \(d_o\) | 空心轴的外直径 | \(\text{m}\) |
| \(d_i\) | 空心轴的内（孔）直径 | \(\text{m}\) |
基本扭转公式 \(\varphi = \tfrac{TL}{JG}\) 返回扭转角（单位为弧度）。要将结果表示为度数，需乘以转换因子：
$$\varphi_{\text{deg}} = \varphi_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi} \approx \varphi_{\text{rad}} \times 57.2958$$以实际数值为例，直径为 \(d = 0.05\,\text{m}\)（50 毫米）的实心轴的极惯性矩为 \(J = \tfrac{\pi (0.05)^4}{32} = 6.136\times 10^{-7}\,\text{m}^4\)。
不同轴的扭转角
下表将 \(\varphi = \tfrac{TL}{JG}\) 应用于多个实际的实心圆形轴。对于每根轴，使用 \(J = \pi d^4/32\) 由直径计算极惯性矩，以弧度求得扭转角，然后使用 \(180/\pi\) 因子转换为度数。较大的直径会大大减小扭转，因为 \(J\) 随直径的四次方变化。
| 轴 | 扭矩 T (N·m) | 长度 L (m) | 直径 d (mm) | J (m⁴) | 材料 / G | φ (rad) | φ (deg) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 轻型传动轴 | 200 | 1.0 | 30 | 7.952 × 10⁻⁸ | 钢 / 79 GPa | 0.0318 | 1.82 |
| 中型钢轴 | 500 | 2.0 | 50 | 6.136 × 10⁻⁷ | 钢 / 79 GPa | 0.0206 | 1.18 |
| 重型工业轴 | 1500 | 1.5 | 80 | 4.021 × 10⁻⁶ | 钢 / 79 GPa | 0.00709 | 0.406 |
| 铝轴 | 300 | 1.0 | 40 | 2.513 × 10⁻⁷ | 铝 / 26 GPa | 0.0459 | 2.63 |
| 黄铜轴 | 250 | 1.2 | 35 | 1.473 × 10⁻⁷ | 黄铜 / 37 GPa | 0.0550 | 3.15 |
注意铝轴和重型钢轴情况的对比：即使扭矩小得多，铝轴的扭转也要大得多，因为其直径（较小的 \(J\)）和剪切模量都更小。轻型传动轴的扭转为 \(\varphi = \tfrac{200 \times 1.0}{(7.952\times 10^{-8})(7.9\times 10^{10})} = 0.0318\,\text{rad}\)，等于 \(0.0318 \times \tfrac{180}{\pi} = 1.82^\circ\)。
常见问题
这个公式适用于非圆形截面的轴吗？ 简单的 \(J\) 公式仅适用于圆形截面。非圆形截面需要使用扭转常数，而不能直接用极惯性矩。
常见材料的剪切模量是多少？ 钢约 79 GPa，铝约 26 GPa，黄铜约 37 GPa。
为什么先给出弧度值？ 力学公式本身得到的就是弧度；乘以 \(180/\pi\) 换算成度，更便于直观理解。
