Góc Xoắn Là Gì?
Khi tác dụng mô-men xoắn lên một trục, trục sẽ quay quanh trục đối xứng của nó — đầu này quay lệch so với đầu kia. Lượng quay đó được gọi là góc xoắn, ký hiệu là \(\varphi\). Đây là đại lượng cơ bản trong bài toán xoắn của trục tròn và đóng vai trò quan trọng khi thiết kế trục truyền động, trục xe, lò xo hay khớp nối — những chi tiết mà góc xoắn quá lớn có thể gây lệch tâm hoặc hư hỏng.
Công Thức
Với một trục tròn tiết diện đều chịu mô-men xoắn không đổi, góc xoắn được tính như sau:
$$\varphi = \frac{T \cdot L}{J \cdot G}$$
trong đó \(T\) là mô-men xoắn tác dụng (\(\text{N}\cdot\text{m}\)), \(L\) là chiều dài trục (m), \(J\) là mô-men quán tính cực của tiết diện (\(\text{m}^4\)) và \(G\) là mô-đun cắt của vật liệu (Pa). Kết quả \(\varphi\) tính bằng radian; nhân với \(180/\pi\) để đổi ra độ. Với trục tròn đặc, \(J = \pi d^4/32\); với trục rỗng, \(J = \pi(d_o^4 - d_i^4)/32\).
Cách Sử Dụng Máy Tính
Nhập mô-men xoắn, chiều dài trục, mô-men quán tính cực và mô-đun cắt của vật liệu. Máy tính sẽ trả về góc xoắn dưới cả hai đơn vị độ và radian.
Ví Dụ Minh Họa
Một trục thép (\(G = 79 \text{ GPa} = 79 \times 10^9 \text{ Pa}\)) dài 1 m, có \(J = 1 \times 10^{-7} \text{ m}^4\) và chịu mô-men xoắn \(100 \text{ N}\cdot\text{m}\). Khi đó $$\varphi = \frac{100 \times 1}{1 \times 10^{-7} \times 79 \times 10^9} = \frac{100}{7900} = 0{,}012658 \text{ rad} \approx 0{,}7252°.$$
Công thức Mô-men Quán tính Cực
Mô-men quán tính cực \(J\) (còn gọi là mô-men quán tính bậc hai cực) mô tả cách một tiết diện chịu lực xoắn. Đối với trục tròn, nó được tính trực tiếp từ đường kính, với đơn vị SI là mét lũy thừa bốn, \(\text{m}^4\).
Trục tròn đặc có đường kính \(d\):
$$J = \frac{\pi d^4}{32}$$Trục tròn rỗng có đường kính ngoài \(d_o\) và đường kính trong \(d_i\):
$$J = \frac{\pi\left(d_o^4 - d_i^4\right)}{32}$$| Ký hiệu | Ý nghĩa | Đơn vị |
|---|---|---|
| \(J\) | Mô-men quán tính cực | \(\text{m}^4\) |
| \(d\) | Đường kính của trục đặc | \(\text{m}\) |
| \(d_o\) | Đường kính ngoài của trục rỗng | \(\text{m}\) |
| \(d_i\) | Đường kính trong (lỗ khoan) của trục rỗng | \(\text{m}\) |
Công thức xoắn cơ bản \(\varphi = \tfrac{TL}{JG}\) cho kết quả góc xoắn tính bằng radian. Để biểu diễn kết quả bằng độ, nhân với hệ số chuyển đổi:
$$\varphi_{\text{deg}} = \varphi_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi} \approx \varphi_{\text{rad}} \times 57.2958$$Với một giá trị cụ thể, trục đặc có đường kính \(d = 0.05\,\text{m}\) (50 mm) cho kết quả \(J = \tfrac{\pi (0.05)^4}{32} = 6.136\times 10^{-7}\,\text{m}^4\).
Góc Xoắn Trên Các Trục Khác Nhau
Bảng dưới đây áp dụng \(\varphi = \tfrac{TL}{JG}\) cho nhiều trục tròn đặc thực tế. Đối với mỗi trục, \(J\) được tính từ đường kính bằng cách sử dụng \(J = \pi d^4/32\), xoắn được tìm bằng radian, sau đó chuyển đổi thành độ với hệ số \(180/\pi\). Đường kính lớn hơn giảm đáng kể xoắn vì \(J\) tỷ lệ thuận với lũy thừa bốn của đường kính.
| Trục | Mômen xoắn T (N·m) | Chiều dài L (m) | Đường kính d (mm) | J (m⁴) | Vật liệu / G | φ (rad) | φ (độ) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Trục truyền động nhẹ | 200 | 1.0 | 30 | 7.952 × 10⁻⁸ | Thép / 79 GPa | 0.0318 | 1.82 |
| Trục thép vừa | 500 | 2.0 | 50 | 6.136 × 10⁻⁷ | Thép / 79 GPa | 0.0206 | 1.18 |
| Trục công nghiệp nặng | 1500 | 1.5 | 80 | 4.021 × 10⁻⁶ | Thép / 79 GPa | 0.00709 | 0.406 |
| Trục nhôm | 300 | 1.0 | 40 | 2.513 × 10⁻⁷ | Nhôm / 26 GPa | 0.0459 | 2.63 |
| Trục đồng thau | 250 | 1.2 | 35 | 1.473 × 10⁻⁷ | Đồng thau / 37 GPa | 0.0550 | 3.15 |
Chú ý sự khác biệt giữa trường hợp nhôm và thép nặng: dù có mômen xoắn nhỏ hơn rất nhiều, trục nhôm vẫn xoắn nhiều hơn vì cả đường kính (mô-men quán tính nhỏ hơn \(J\)) và môđun cắt của nó đều nhỏ hơn. Xoắn của trục truyền động nhẹ là \(\varphi = \tfrac{200 \times 1.0}{(7.952\times 10^{-8})(7.9\times 10^{10})} = 0.0318\,\text{rad}\), bằng \(0.0318 \times \tfrac{180}{\pi} = 1.82^\circ\).
Câu Hỏi Thường Gặp
Công thức này có dùng được cho trục không tròn không? Công thức \(J\) đơn giản chỉ áp dụng cho tiết diện tròn. Các tiết diện không tròn cần dùng hằng số xoắn thay cho mô-men quán tính cực.
Mô-đun cắt của một số vật liệu phổ biến là bao nhiêu? Thép \(\approx 79 \text{ GPa}\), nhôm \(\approx 26 \text{ GPa}\), đồng thau \(\approx 37 \text{ GPa}\).
Vì sao kết quả lại tính bằng radian trước? Công thức cơ học vốn cho kết quả theo radian; muốn ra độ thì nhân với \(180/\pi\) để dễ hình dung hơn.
