Burulma Açısı Nedir?
Bir mile tork uygulandığında, mil kendi ekseni etrafında döner; bir ucu diğerine göre açısal olarak yer değiştirir. Bu dönme miktarına burulma açısı denir ve \(\varphi\) ile gösterilir. Dairesel millerin torsiyonunda temel bir büyüklük olan bu değer; tahrik milleri, akslar, yaylar ve kavramalar tasarlanırken kritik öneme sahiptir. Aşırı burulma, eksen kaçıklığına veya parça arızasına yol açabilir.
Formül
Sabit tork altındaki, kesiti her yerde aynı olan dairesel bir mil için burulma açısı şöyle hesaplanır:
$$\varphi = \frac{T \cdot L}{J \cdot G}$$Burada \(T\) uygulanan tork (\(\text{N}\cdot\text{m}\)), \(L\) milin uzunluğu (m), \(J\) kesitin polar atalet momenti (m⁴) ve \(G\) malzemenin kayma modülüdür (Pa). Sonuç \(\varphi\) radyan cinsindendir; dereceye çevirmek için \(180/\pi\) ile çarpın. İçi dolu dairesel bir mil için \(J = \pi d^4/32\); içi boş (boru) bir mil için \(J = \pi(d_o^4 - d_i^4)/32\) olur.
Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?
Tork, mil uzunluğu, polar atalet momenti ve malzemenin kayma modülü değerlerini girin. Hesaplayıcı, burulma açısını hem derece hem de radyan cinsinden verir.
Örnek Hesaplama
1 m uzunluğunda, \(J = 1\times10^{-7}\ \text{m}^4\) olan bir çelik mil (\(G = 79\ \text{GPa} = 79\times10^9\ \text{Pa}\)) 100 \(\text{N}\cdot\text{m}\)'lik bir tork taşısın. Bu durumda $$\varphi = \frac{100 \times 1}{1\times10^{-7} \times 79\times10^9} = \frac{100}{7900} = 0{,}012658\ \text{rad} \approx 0{,}7252^\circ$$ olur.
Polar Atalet Momenti Formülleri
Polar atalet momenti \(J\) (ayrıca polar alan ikinci momenti olarak da adlandırılır) bir kesit yüzeyinin torslona karşı gösterdiği direnci tanımlar. Dairesel şaftlar için çap kullanılarak doğrudan hesaplanır ve SI birim sistemi metre dördüncü kuvvetidir, \(\text{m}^4\).
Solid dairesel şaft çap \(d\):
$$J = \frac{\pi d^4}{32}$$İçi boş dairesel şaft dış çap \(d_o\) ve iç çap \(d_i\):
$$J = \frac{\pi\left(d_o^4 - d_i^4\right)}{32}$$| Sembol | Anlamı | Birim |
|---|---|---|
| \(J\) | Polar atalet momenti | \(\text{m}^4\) |
| \(d\) | Solid şaftın çapı | \(\text{m}\) |
| \(d_o\) | İçi boş şaftın dış çapı | \(\text{m}\) |
| \(d_i\) | İçi boş şaftın iç (göz) çapı | \(\text{m}\) |
Temel torsyon formülü \(\varphi = \tfrac{TL}{JG}\) dönüş açısını radyan cinsinden verir. Sonucu derece cinsinden ifade etmek için dönüşüm faktörü ile çarpın:
$$\varphi_{\text{der}} = \varphi_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi} \approx \varphi_{\text{rad}} \times 57.2958$$Hesaplanan bir değer için, çap \(d = 0.05\,\text{m}\) (50 mm) olan solid bir şaft \(J = \tfrac{\pi (0.05)^4}{32} = 6.136\times 10^{-7}\,\text{m}^4\) verir.
Farklı Şaftlarda Dönüş Açısı
Aşağıdaki tablo \(\varphi = \tfrac{TL}{JG}\) formülünü birkaç gerçekçi solid dairesel şafta uygulamaktadır. Her biri için \(J\) çap kullanılarak \(J = \pi d^4/32\) formülünden hesaplanır, dönüş radyan cinsinden bulunur, ardından \(180/\pi\) faktörü ile dereceye dönüştürülür. Daha büyük çaplar dönüşü dramatik biçimde azaltır çünkü \(J\) çapın dördüncü kuvvetiyle ölçeklenir.
| Şaft | Tork T (N·m) | Uzunluk L (m) | Çap d (mm) | J (m⁴) | Malzeme / G | φ (rad) | φ (der) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Hafif tahrik şaftı | 200 | 1.0 | 30 | 7.952 × 10⁻⁸ | Çelik / 79 GPa | 0.0318 | 1.82 |
| Orta çelikli şaft | 500 | 2.0 | 50 | 6.136 × 10⁻⁷ | Çelik / 79 GPa | 0.0206 | 1.18 |
| Ağır endüstriyel şaft | 1500 | 1.5 | 80 | 4.021 × 10⁻⁶ | Çelik / 79 GPa | 0.00709 | 0.406 |
| Alüminyum şaft | 300 | 1.0 | 40 | 2.513 × 10⁻⁷ | Alüminyum / 26 GPa | 0.0459 | 2.63 |
| Pirinç şaft | 250 | 1.2 | 35 | 1.473 × 10⁻⁷ | Pirinç / 37 GPa | 0.0550 | 3.15 |
Alüminyum ve ağır çelik durumları arasındaki zıtlığa dikkat edin: çok daha küçük bir tork ile bile alüminyum şaft çok daha fazla bükülür çünkü hem çapı (daha küçük \(J\)) hem de kayma modülü düşüktür. Hafif tahrik şaftının dönüşü, \(\varphi = \tfrac{200 \times 1.0}{(7.952\times 10^{-8})(7.9\times 10^{10})} = 0.0318\,\text{rad}\), eşittir \(0.0318 \times \tfrac{180}{\pi} = 1.82^\circ\).
Sıkça Sorulan Sorular
Dairesel olmayan miller için de geçerli mi? Buradaki basit \(J\) formülü yalnızca dairesel kesitler için geçerlidir. Dairesel olmayan kesitlerde polar atalet momenti yerine bir torsiyon sabiti kullanılması gerekir.
Yaygın malzemelerin kayma modülü nedir? Çelik ≈ 79 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa, pirinç ≈ 37 GPa.
Neden açı önce radyan cinsinden çıkıyor? Mekanik formülü doğal olarak radyan verir; daha kolay yorumlanması için \(180/\pi\) ile çarpılarak dereceye çevrilir.
