ねじれ角とは？
軸にトルク（ねじりモーメント）が作用すると、軸はその中心軸まわりに回転し、一方の端がもう一方の端に対してずれます。この回転量をねじれ角と呼び、記号 \(\varphi\) で表します。ねじれ角は円形断面の軸のねじり問題における基本量であり、ドライブシャフト、車軸、ばね、カップリングなどの設計に欠かせません。ねじれが過大になると、芯ずれや破損の原因となるためです。
計算式
一様な円形断面の軸に一定のトルクが作用する場合、ねじれ角は次式で求められます。
$$\varphi = \frac{\text{Torque }T \cdot \text{Length }L}{\text{Polar Moment }J \cdot \text{Shear Modulus }G}$$ここで T は作用トルク（N·m）、L は軸の長さ（m）、J は断面の断面二次極モーメント（m⁴）、G は材料の横弾性係数（せん断弾性係数、Pa）です。結果 \(\varphi\) の単位はラジアンで、\(180/\pi\) を掛けると度（°）に換算できます。中実丸軸では \(J = \pi d^4/32\)、中空軸では \(J = \pi(d_o^4 - d_i^4)/32\) となります。
計算ツールの使い方
トルク、軸の長さ、断面二次極モーメント、材料の横弾性係数を入力してください。ねじれ角が度（°）とラジアンの両方で表示されます。
計算例
鋼製の軸（\(G = 79\ \text{GPa} = 79\times10^9\ \text{Pa}\)）で、長さ 1 m、\(J = 1\times10^{-7}\ \text{m}^4\)、作用トルク 100 N·m とします。このとき $$\varphi = \frac{100 \times 1}{1\times10^{-7} \times 79\times10^9} = \frac{100}{7900} = 0.012658\ \text{rad} \approx 0.7252^\circ$$ となります。
極惯性モーメント公式
極惯性モーメント \(J\)（極第2面積モーメントとも呼ばれる）は、断面がねじりに対する抵抗性を表します。円形軸の場合、直径から直接計算され、SI単位は4乗メートル \(\text{m}^4\) です。
実心円形軸（直径 \(d\)）:
$$J = \frac{\pi d^4}{32}$$中空円形軸（外径 \(d_o\)、内径 \(d_i\)）:
$$J = \frac{\pi\left(d_o^4 - d_i^4\right)}{32}$$| 記号 | 意味 | 単位 |
|---|---|---|
| \(J\) | 極惯性モーメント | \(\text{m}^4\) |
| \(d\) | 実心軸の直径 | \(\text{m}\) |
| \(d_o\) | 中空軸の外径 | \(\text{m}\) |
| \(d_i\) | 中空軸の内径（ボア） | \(\text{m}\) |
基本的なねじり公式 \(\varphi = \tfrac{TL}{JG}\) はねじり角をラジアンで返します。結果を度で表現するには、変換係数を掛けます：
$$\varphi_{\text{deg}} = \varphi_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi} \approx \varphi_{\text{rad}} \times 57.2958$$具体的な例として、直径 \(d = 0.05\,\text{m}\)（50 mm）の実心軸では \(J = \tfrac{\pi (0.05)^4}{32} = 6.136\times 10^{-7}\,\text{m}^4\) が得られます。
異なる軸でのねじり角
以下の表は、いくつかの実際的な実心円形軸に \(\varphi = \tfrac{TL}{JG}\) を適用しています。それぞれについて、\(J\) は \(J = \pi d^4/32\) を使用して直径から計算され、ねじりはラジアンで求められ、その後 \(180/\pi\) 係数で度に変換されます。より大きな直径はねじりを劇的に減らします。なぜなら \(J\) は直径の4乗でスケールするためです。
| 軸 | トルク T (N·m) | 長さ L (m) | 直径 d (mm) | J (m⁴) | 材料 / G | φ (rad) | φ (deg) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 軽いドライブシャフト | 200 | 1.0 | 30 | 7.952 × 10⁻⁸ | 鋼 / 79 GPa | 0.0318 | 1.82 |
| 中程度の鋼軸 | 500 | 2.0 | 50 | 6.136 × 10⁻⁷ | 鋼 / 79 GPa | 0.0206 | 1.18 |
| 重い産業用軸 | 1500 | 1.5 | 80 | 4.021 × 10⁻⁶ | 鋼 / 79 GPa | 0.00709 | 0.406 |
| アルミニウム軸 | 300 | 1.0 | 40 | 2.513 × 10⁻⁷ | アルミニウム / 26 GPa | 0.0459 | 2.63 |
| 真鍮軸 | 250 | 1.2 | 35 | 1.473 × 10⁻⁷ | 真鍮 / 37 GPa | 0.0550 | 3.15 |
アルミニウム軸と重い鋼軸のケースを比較してください：トルクがはるかに小さいにもかかわらず、アルミニウム軸は直径が小さく（\(J\) が小さい）、せん断弾性係数も低いため、はるかに多くねじります。軽いドライブシャフトのねじり \(\varphi = \tfrac{200 \times 1.0}{(7.952\times 10^{-8})(7.9\times 10^{10})} = 0.0318\,\text{rad}\) は、\(0.0318 \times \tfrac{180}{\pi} = 1.82^\circ\) に等しいです。
よくある質問
非円形断面の軸にも使えますか？ 単純な \(J\) の式は円形断面に適用されるものです。非円形断面の場合は、断面二次極モーメントではなくねじり定数を用いる必要があります。
代表的な材料の横弾性係数は？ 鋼 ≈ 79 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa、黄銅 ≈ 37 GPa です。
なぜ最初にラジアンで表示されるのですか？ 力学の公式は本来ラジアンを導きます。これに \(180/\pi\) を掛けることで、より直感的に理解しやすい度（°）に変換できます。
