オイラー座屈荷重とは？
オイラー座屈荷重（臨界荷重、\(P_{cr}\)）とは、細長い柱が圧壊するのではなく、突然横方向に湾曲して座屈する直前まで耐えられる軸方向圧縮力の最大値を指します。レオンハルト・オイラーにちなんで名付けられたこの公式は、構造工学・機械工学を支える基礎理論のひとつです。本ツールは単位系が一貫していればどの単位でも使用できますが、ここでの例にはSI単位（パスカル、メートル、ニュートン）を用いています。
このツールの使い方
柱の縦弾性係数E（構造用鋼材なら約200 GPa＝\(2\times10^{11}\) Pa）、弱軸まわりの断面二次モーメントI、支持されていない長さLを入力し、端部条件係数Kを選択してください。計算結果として、臨界荷重がニュートン（N）とキロニュートン（kN）の両方で表示され、有効長さKLも算出されます。
公式の解説
基本となる式は次のとおりです。
$$P_{cr} = \frac{\pi^2 \, \text{E} \, \text{I}}{\left(\text{K} \cdot \text{L}\right)^2}$$EI は柱の曲げ剛性を表し、剛性が高い断面や太い断面ほど座屈しにくくなります。分母の \((KL)^2\) からわかるように、座屈荷重は長さとともに急激に低下します。たとえば長さを2倍にすると耐力は4分の1になります。係数Kは端部の拘束条件を反映するもので、両端ピン支持で \(K=1.0\)、両端固定で \(K=0.5\)、一端固定・一端ピンで \(K\approx0.699\)、一端固定・一端自由（片持ち）で \(K=2.0\) となります。
計算例
両端ピン支持の鋼製柱で、\(E = 200\) GPa、\(I = 1\times10^{-7}\) m⁴、\(L = 3\) m（\(K=1\)）の場合を考えます。有効長さは \(KL = 3\) m。
$$P_{cr} = \frac{\pi^2 \times 2\times10^{11} \times 1\times10^{-7}}{3^2} = \frac{9.8696 \times 20000}{9} \approx 21{,}932 \text{ N} \approx 21.9 \text{ kN}$$終局状態係数（K）リファレンス
有効長さ係数 \(K\) は、柱の端部がどの程度拘束されているかを考慮します。オイラー臨界荷重は有効長 \(KL\) を使用します。理論値は理想的な拘束を仮定していますが、推奨される設計値（AISC基準に従う）は、実際の接合部が完全には固定されないという事実を反映してより高い値となっています。
| 端部条件 | 理論K | 推奨設計K | 備考 |
|---|---|---|---|
| ピン‐ピン | 1.0 | 1.0 | 両端が自由に回転可能。基準となるケース。 |
| 固定‐固定 | 0.5 | 0.65 | 両端が回転拘束されている。設計値は不完全な固定を反映して上げられている。 |
| 固定‐ピン | 0.7 | 0.8 | 一端が固定、一端がピン（0.699と記載されることもある）。 |
| 固定‐自由（カンチレバー） | 2.0 | 2.1 | 一端が完全固定、他端が並進と回転が自由。最も弱いケース。 |
推奨値は、実務における端部固定度を反映しており、完全な数学的固定や完全なピンはほぼ実現されないためです。より高い（安全側の）値を使用することで、有効長 \(KL\) が増加し、その結果予測臨界荷重が低くなります。
材料別の典型的なヤング率（E）
ヤング率（弾性係数）は、材料の弾性剛性を表します。\(E\) が大きいほど、オイラー座屈荷重が直接増加します。以下の値は典型値です。実際の値は合金、等級、含水率、配合設計によって異なります。
| 材料 | E（GPa） | E（Pa） |
|---|---|---|
| 構造用鋼 | ～200 | 2.0 × 1011 |
| 鋳鉄 | ～120 | 1.2 × 1011 |
| チタン | ～110 | 1.1 × 1011 |
| アルミニウム | ～69 | 6.9 × 1010 |
| コンクリート | ～30 | 3.0 × 1010 |
| 木材（軟木） | ～10‐12 | 1.0‐1.2 × 1010 |
SI単位で一貫した結果を得るには、\(E\) をパスカル（Pa）で、\(I\) をm4で入力してください。そうすれば臨界荷重がニュートン（N）で出力されます。
臨界荷重の解釈
オイラー臨界荷重 \(P_{cr}\) は、完全に直線的で弾性的な、同心に負荷された柱が不安定になり横向きに座屈する理論上の軸方向力です。これは弾性座屈の開始点を示します。安全な作業荷重ではありません。
- 安全係数を適用してください。実際の柱には初期弧度、荷重の偏心、残留応力があります。許容設計荷重は \(P_{cr}\) を安全係数（コードと用途によって一般的に1.5～3）で割った値です。したがって、計算された \(P_{cr}\) に柱を負荷してはいけません。
- 細長比をチェックしてください。オイラーの公式は、細い柱にのみ有効です。つまり、細長比 \(KL/r\) が比例限界を超えている柱です。それ以下では、非弾性（ジョンソン放物線）座屈が支配的で、オイラー公式は耐力を過大評価します。
- ずんぐりした柱の降伏に注意してください。短くて厚い（細長比が小さい）柱の場合、材料は座屈が発生する前に圧縮降伏応力に達します。この領域では、圧縮破壊/降伏が支配的で、押しつぶし荷重 \(P = \sigma_y A\) が \(P_{cr}\) よりも制限値になります。
要するに：\(P_{cr}\) を計算し、オイラーの公式が適用可能であるほど柱が細いことを確認してから、適切な安全係数で割って許容荷重を求めてください。これは一般的な工学情報であり、有資格エンジニアによる規準適合設計の代替物ではありません。
よくある質問
Kは何を表していますか？ Kは端部の拘束条件を反映する有効長さ係数で、実際の柱の長さを、等価な両端ピン柱の長さに換算するための係数です。
オイラーの公式は常に適用できますか？ いいえ。この公式は、長く細い、弾性的でまっすぐな柱を前提としています。短く太い柱はまず降伏によって破壊するため、細長比と材料の降伏応力を必ず確認してください。
どの断面二次モーメントを使えばよいですか？ 最も小さい（弱軸まわりの）I を使用します。柱は曲げ剛性が最も低い軸まわりに座屈するためです。
