什麼是尤拉挫屈載重？
尤拉挫屈載重，又稱臨界載重（\(P_{cr}\)），是指細長柱在因挫屈而突然側向彎曲破壞之前，所能承受的最大軸向壓力。它以數學家尤拉（Leonhard Euler）命名，是結構工程與機械工程中最基礎的公式之一。本計算機適用於任何一致的單位系統；本文範例採用國際單位制（SI），即帕斯卡、公尺與牛頓。
如何使用本計算機
請輸入柱的彈性模數 E（結構鋼約 200 GPa＝\(2\times10^{11}\) Pa）、繞弱軸的斷面慣性矩 I、無支撐柱長 L，並選擇端部條件係數 K。計算結果會同時以牛頓與千牛頓顯示臨界載重，並附上有效長度 KL。
公式解析
核心方程式為 $$P_{cr} = \frac{\pi^2 \, \text{E} \, \text{I}}{\left(\text{K} \cdot \text{L}\right)^2}$$ 其中 EI 為柱的撓曲剛度——斷面愈剛或愈粗壯，抗挫屈能力愈強。分母 \((KL)^2\) 說明挫屈載重會隨長度急遽下降：柱長加倍，承載能力只剩四分之一。係數 K 反映端部的束制方式：兩端鉸接 \(K=1.0\)、兩端固定 \(K=0.5\)、一端固定一端鉸接 \(K\approx0.699\)，一端固定一端自由（懸臂）\(K=2.0\)。
實例演算
一根兩端鉸接的鋼柱，E＝200 GPa、\(I=1\times10^{-7}\ \text{m}^4\)、L＝3 m（\(K=1\)）。有效長度 KL＝3 m。$$P_{cr}=\frac{\pi^2\times2\times10^{11}\times1\times10^{-7}}{3^2}=\frac{9.8696\times20000}{9}\approx21{,}932\ \text{N}\approx21.9\ \text{kN}$$
端部條件係數 (K) 參考
有效長度係數 \(K\) 說明柱子的端部如何受到約束。尤拉臨界載荷使用有效長度 \(KL\)。理論值假設理想約束，而建議的設計值（根據 AISC 指南）更高，以反映實際連接永遠不會完全固定這一事實。
| 端部條件 | 理論 K | 建議設計 K | 備註 |
|---|---|---|---|
| 鉸支–鉸支 | 1.0 | 1.0 | 兩端都可自由旋轉；基準參考情況。 |
| 固定–固定 | 0.5 | 0.65 | 兩端都受旋轉約束；設計值因非理想固定而提高。 |
| 固定–鉸支 | 0.7 | 0.8 | 一端固定，一端鉸支（通常列為 0.699）。 |
| 固定–自由（懸臂） | 2.0 | 2.1 | 一端完全固定，另一端可自由平移和旋轉；最弱情況。 |
建議值反映 AISC 推薦的真實世界端部固定情況，因為在實踐中很少發生真正的數學固定或完美的鉸支。使用較高（保守）的值會增加有效長度 \(KL\)，因此降低預測的臨界載荷。
按材料分類的典型彈性模量 (E)
彈性模量（楊氏模量）描述材料的彈性剛度。較高的 \(E\) 直接增加尤拉屈曲載荷。下面的值是典型值；實際值隨合金、等級、含水量和混合設計而變化。
| 材料 | E (GPa) | E (Pa) |
|---|---|---|
| 結構鋼 | ~200 | 2.0 × 1011 |
| 鑄鐵 | ~120 | 1.2 × 1011 |
| 鈦 | ~110 | 1.1 × 1011 |
| 鋁 | ~69 | 6.9 × 1010 |
| 混凝土 | ~30 | 3.0 × 1010 |
| 木材（軟木） | ~10–12 | 1.0–1.2 × 1010 |
為了獲得一致的 SI 結果，請以帕斯卡 (Pa) 輸入 \(E\)，以 m4 輸入 \(I\)，這樣臨界載荷就以牛頓 (N) 為單位。
解釋您的臨界載荷
尤拉臨界載荷 \(P_{cr}\) 是完全直的、彈性的、集中加載柱子變得不穩定並向側面屈曲時的理論軸向力。它標誌著彈性屈曲的開始——而不是安全工作載荷。
- 應用安全係數。實際柱子具有初始彎曲、載荷偏心和殘留應力。容許設計載荷是 \(P_{cr}\) 除以安全係數（通常為 1.5–3，取決於代碼和應用），因此永遠不要將柱子加載到其計算的 \(P_{cr}\)。
- 檢查細長比。尤拉公式僅對細長柱子有效——那些細長比 \(KL/r\) 超過臨界值的柱子，其中屈曲應力保持在比例極限以下。低於此值時，非彈性（Johnson 拋物線）屈曲主導，尤拉會高估容量。
- 注意粗短柱的屈服。對於短的、厚的（細長比低）柱子，材料在屈曲發生之前在壓縮中達到其屈服應力。在該情況下，壓碎/屈服主導，壓潰載荷 \(P = \sigma_y A\) 是限制值，而不是 \(P_{cr}\)。
簡而言之：計算 \(P_{cr}\)，確認柱子足夠細長以使尤拉公式適用，然後除以適當的安全係數以獲得容許載荷。這是一般工程信息，不是合格工程師進行代碼合規設計的替代品。
常見問題
K 代表什麼？K 為有效長度係數，用以反映端部的束制條件，它能將實際柱長換算成等效鉸接柱的長度。
尤拉公式一定適用嗎？不一定。它假設柱體為細長、彈性且筆直。短柱或粗壯柱會先因降伏而破壞，因此須檢核細長比與材料的降伏應力。
該使用哪一個慣性矩？應採用最小值（弱軸）的 I，因為柱體會繞撓曲剛度最低的軸向發生挫屈。
