Qu'est-ce que l'angle de torsion ?
Lorsqu'un couple est appliqué à un arbre, celui-ci pivote autour de son axe : une extrémité tourne par rapport à l'autre. L'ampleur de cette rotation porte le nom d'angle de torsion, noté \(\varphi\). C'est une grandeur fondamentale dans l'étude de la torsion des arbres circulaires, indispensable pour dimensionner les arbres de transmission, les essieux, les ressorts et les accouplements, où une torsion excessive peut entraîner un désalignement, voire une rupture.
La formule
Pour un arbre de section circulaire uniforme soumis à un couple constant, l'angle de torsion s'exprime ainsi :
$$\varphi = \frac{T \cdot L}{J \cdot G}$$où T est le couple appliqué (\(\text{N}\cdot\text{m}\)), L la longueur de l'arbre (m), J le moment d'inertie polaire de la section (\(\text{m}^4\)) et G le module de cisaillement du matériau (Pa). Le résultat \(\varphi\) est exprimé en radians ; multipliez-le par \(180/\pi\) pour l'obtenir en degrés. Pour un arbre plein circulaire, \(J = \pi d^4 / 32\) ; pour un arbre creux, \(J = \pi(d_o^4 - d_i^4)/32\).
Comment utiliser le calculateur
Saisissez le couple, la longueur de l'arbre, le moment d'inertie polaire et le module de cisaillement du matériau. Le calculateur affiche l'angle de torsion à la fois en degrés et en radians.
Exemple résolu
Un arbre en acier (\(G = 79\ \text{GPa} = 79\times10^9\ \text{Pa}\)) mesure 1 m de long, avec \(J = 1\times10^{-7}\ \text{m}^4\), et supporte un couple de \(100\ \text{N}\cdot\text{m}\). On obtient alors $$\varphi = \frac{100 \times 1}{1\times10^{-7} \times 79\times10^9} = \frac{100}{7900} = 0{,}012658\ \text{rad} \approx 0{,}7252°.$$
Formules du moment polaire d'inertie
Le moment polaire d'inertie \(J\) (aussi appelé le deuxième moment polaire de la surface) décrit la façon dont une section transversale résiste à la torsion. Pour les arbres circulaires, il est calculé directement à partir du diamètre, avec des unités SI de mètres à la puissance quatre, \(\text{m}^4\).
Arbre circulaire plein de diamètre \(d\):
$$J = \frac{\pi d^4}{32}$$Arbre circulaire creux avec diamètre extérieur \(d_o\) et diamètre intérieur \(d_i\):
$$J = \frac{\pi\left(d_o^4 - d_i^4\right)}{32}$$| Symbole | Signification | Unité |
|---|---|---|
| \(J\) | Moment polaire d'inertie | \(\text{m}^4\) |
| \(d\) | Diamètre de l'arbre plein | \(\text{m}\) |
| \(d_o\) | Diamètre extérieur de l'arbre creux | \(\text{m}\) |
| \(d_i\) | Diamètre intérieur (alésage) de l'arbre creux | \(\text{m}\) |
La formule de torsion de base \(\varphi = \tfrac{TL}{JG}\) donne l'angle de rotation en radians. Pour exprimer le résultat en degrés, multipliez par le facteur de conversion:
$$\varphi_{\text{deg}} = \varphi_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi} \approx \varphi_{\text{rad}} \times 57.2958$$Pour une valeur calculée, un arbre plein de diamètre \(d = 0.05\,\text{m}\) (50 mm) donne \(J = \tfrac{\pi (0.05)^4}{32} = 6.136\times 10^{-7}\,\text{m}^4\).
Angle de rotation sur différents arbres
Le tableau ci-dessous applique \(\varphi = \tfrac{TL}{JG}\) à plusieurs arbres circulaires pleins réalistes. Pour chacun, \(J\) est calculé à partir du diamètre en utilisant \(J = \pi d^4/32\), la rotation est trouvée en radians, puis convertie en degrés avec le facteur \(180/\pi\). Les diamètres plus grands réduisent considérablement la rotation car \(J\) varie avec la puissance quatre du diamètre.
| Arbre | Couple T (N·m) | Longueur L (m) | Diamètre d (mm) | J (m⁴) | Matériau / G | φ (rad) | φ (deg) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Arbre de transmission léger | 200 | 1.0 | 30 | 7.952 × 10⁻⁸ | Acier / 79 GPa | 0.0318 | 1.82 |
| Arbre d'acier moyen | 500 | 2.0 | 50 | 6.136 × 10⁻⁷ | Acier / 79 GPa | 0.0206 | 1.18 |
| Arbre industriel lourd | 1500 | 1.5 | 80 | 4.021 × 10⁻⁶ | Acier / 79 GPa | 0.00709 | 0.406 |
| Arbre en aluminium | 300 | 1.0 | 40 | 2.513 × 10⁻⁷ | Aluminium / 26 GPa | 0.0459 | 2.63 |
| Arbre en laiton | 250 | 1.2 | 35 | 1.473 × 10⁻⁷ | Laiton / 37 GPa | 0.0550 | 3.15 |
Notez le contraste entre les cas de l'aluminium et de l'acier lourd : même avec un couple beaucoup plus petit, l'arbre en aluminium se tord beaucoup plus car tant son diamètre (plus petit \(J\)) que son module de cisaillement sont plus faibles. La rotation de l'arbre de transmission léger, \(\varphi = \tfrac{200 \times 1.0}{(7.952\times 10^{-8})(7.9\times 10^{10})} = 0.0318\,\text{rad}\), égale \(0.0318 \times \tfrac{180}{\pi} = 1.82^\circ\).
FAQ
Cela fonctionne-t-il pour les arbres non circulaires ? La formule simple de \(J\) s'applique uniquement aux sections circulaires. Les sections non circulaires nécessitent une constante de torsion plutôt que le moment d'inertie polaire.
Quel est le module de cisaillement des matériaux courants ? Acier \(\approx 79\ \text{GPa}\), aluminium \(\approx 26\ \text{GPa}\), laiton \(\approx 37\ \text{GPa}\).
Pourquoi l'angle est-il d'abord exprimé en radians ? La formule de mécanique fournit naturellement un résultat en radians ; on l'obtient en degrés en le multipliant par \(180/\pi\), ce qui facilite l'interprétation.
