Công cụ này làm gì
Công cụ này tính hàm sóng của electron ở trạng thái liên kết trong nguyên tử dạng hydro — chính là nghiệm chính xác của phương trình Schrödinger độc lập thời gian cho một electron chuyển động quanh hạt nhân điểm có điện tích Z. Hàm sóng đầy đủ tách thành hai phần: phần bán kính và phần góc, theo công thức $$\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)\,Y_l^m(\theta,\phi)$$ Công cụ áp dụng được cho nguyên tử hydro (\(Z = 1\)) và ion He+ (\(Z = 2\)). Khoảng cách được biểu diễn theo bán kính Bohr (\(a = 1\)), nên Psi có đơn vị kiểu nguyên tử là \(a^{-3/2}\).
Cách sử dụng
Trước tiên hãy chọn điện tích hạt nhân \(Z\), sau đó nhập ba số lượng tử: số lượng tử chính \(n\) (1, 2, 3, …), số lượng tử quỹ đạo \(l\) (từ 0 đến \(n-1\)) và số lượng tử từ \(m\) (từ \(-l\) đến \(+l\)). Cuối cùng, nhập điểm trong không gian mà bạn muốn tính hàm sóng: khoảng cách bán kính \(r\) tính theo bán kính Bohr, góc cực \(\theta\) tính bằng độ (0 đến 180) và góc phương vị \(\phi\) tính bằng độ (0 đến 360). Công cụ sẽ trả về độ lớn, phần thực và phần ảo của Psi, cùng với giá trị \(r\cdot\psi\) để bạn dễ hình dung mật độ theo bán kính.
Giải thích công thức
Hàm bán kính \(R_{nl}(r)\) được dựng từ một hằng số chuẩn hóa, một hàm mũ tắt dần \(e^{-Zr/(na)}\), một thừa số lũy thừa \(\rho^l\) với \(\rho = 2Zr/(na)\), và một đa thức Laguerre liên kết \(L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)\) được tính dưới dạng tổng hữu hạn. Hàm góc \(Y_l^m\) sử dụng hàm Legendre liên kết \(P_l^m(\cos\theta)\) cùng pha phức \(e^{im\phi}\). Khi \(m = 0\), kết quả hoàn toàn là số thực; khi \(m\) khác 0, hàm sóng mang một pha, do đó chúng tôi báo cáo cả phần thực, phần ảo và độ lớn. Lưu ý rằng \(|\psi|^2\) (mật độ xác suất) không phụ thuộc vào \(\phi\).
Ví dụ minh họa (trạng thái cơ bản 1s)
Đặt \(Z = 1\), \(n = 1\), \(l = 0\), \(m = 0\), \(r = 1\), \(\theta = 0\), \(\phi = 0\). Khi đó \(\rho = 2\), hệ số bán kính phía trước bằng $$\sqrt{\frac{8 \times 1}{2 \times 1}} = 2$$ (kèm dấu trừ đứng đầu, tức \(-2\)), \(e^{-1} = 0{,}367879\), đa thức Laguerre \(L_0^1(2) = 1\), nên \(R_{10}(1) = -0{,}735759\). Điều hòa cầu \(Y_0^0 = \sqrt{\frac{1}{4\pi}} = 0{,}282095\). Nhân lại ta được \(\psi = -0{,}207538\), với độ lớn là \(0{,}207538\) — đúng bằng giá trị 1s trong sách giáo khoa, tức \(\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-r}\) tại \(r = 1\).
Câu hỏi thường gặp
Tại sao kết quả của tôi đôi khi lại âm? Công cụ này dùng quy ước phổ biến là đặt dấu trừ đứng đầu cho \(R_{nl}\). Các đại lượng quan sát được về mặt vật lý như \(|\psi|^2\) không bị ảnh hưởng bởi dấu chung này.
Psi có đơn vị là gì? Khi đặt bán kính Bohr \(a = 1\), Psi có đơn vị \(a^{-3/2}\). Để chuyển sang giá trị SI, hãy nhân \(r\) với \(a_0 = 5{,}29177e{-}11\text{ m}\) và nhân Psi với \(a_0^{-3/2}\).
Tại sao trạng thái có l lớn hơn lại triệt tiêu tại r = 0? Thừa số \(\rho^l\) buộc \(R_{nl}\) bằng 0 tại gốc tọa độ mỗi khi \(l > 0\); chỉ có các trạng thái s (\(l = 0\)) mới có mật độ khác 0 ngay tại hạt nhân.
